Cho a, b, c dương, a + b + c = 3. Chứng minh rằng: + + ≥ 7

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 36957:

Cho a, b, c dương, a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}+4a+2b}{b+2c}$ + $\frac{b^{2}+4b+2c}{c+2a}$ + $\frac{c^{2}+4c+2a}{a+2b}$ ≥ 7

A. Click để cem đáp án.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:36957

Giải chi tiết

Bất đẳng thức tương đương: $\frac{a^{2}}{b+2c}+\frac{b^{2}}{c+2a}+\frac{c^{2}}{a+2b}+\frac{4a+2b}{b+2c}+\frac{4b+2c}{c+2a}+\frac{4c+2a}{a+2b}$ ≥ 7

Ta có $\frac{a^{2}}{b+2c}+\frac{b+2c}{9}$ ≥ $\frac{2a}{3}$ ⇔ $\frac{a^{2}}{b+2c}$ ≥ $\frac{b+2c+6a}{9}$ (1) ( Cô- si)

Dấu "=" xảy ra khi $\frac{a^{2}}{b+2c}=\frac{b+2c}{9}$

Tương tự $\frac{b^{2}}{c+2a}\geq \frac{c+2a+6b}{9}$ (2)

$\frac{c^{2}}{a+2b}\geq \frac{a+2b+6c}{9}$ (3)

Cộng (1) , (2) và (3) vế với vế ta được $\frac{a^{2}}{b+2c}$ + $\frac{b^{2}}{c+2a}$ + $\frac{c^{2}}{a+2b}$ ≥ 1 (*)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Ta có $\frac{4a+2b}{b+2c}+\frac{4b+2c}{c+2a}+\frac{4c+2a}{a+2b}$

= 4(a + b + c)( $\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}+\frac{1}{a+2b}$ ) - 6

= $\frac{4}{3}$ [( b + 2c) +(c + 2a) + (a + 2b)] $(\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}+\frac{1}{a+2b}) \right$ - 6

≥ $\frac{4}{3}3\sqrt[3]{(b+2c)(c+2a)(a+2b)}.3.\frac{1}{\sqrt[3]{(b+2c)(c+2a)(a+2b)}}$ - 6 = 6 (**)

Cộng (*) và (**) ta được điều phải chứng minh, dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.