Xét các số thực \(a,b\) thỏa mãn \(a > b > 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = \log _{\dfrac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\dfrac{a}{b}} \right).\)
Câu 372653: Xét các số thực \(a,b\) thỏa mãn \(a > b > 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = \log _{\dfrac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\dfrac{a}{b}} \right).\)
A. \({P_{\min }} = 19.\)
B. \({P_{\min }} = 13.\)
C. \({P_{\min }} = 14.\)
D. \({P_{\min }} = 15.\)
Quảng cáo
-
Đáp án : D(10) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(P = \log _{\dfrac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\dfrac{a}{b} = 4\log _{\dfrac{a}{b}}^2a + 3{\log _b}a - 3 = \dfrac{4}{{{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right)}^2}}} + \dfrac{3}{{{{\log }_a}b}} - 3.\)
+ Đặt \(t = {\log _a}b\,\,\,\left( {a > b > 1 \Rightarrow 0 < t < 1} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow P\left( t \right) = \dfrac{4}{{{{\left( {1 - t} \right)}^2}}} + \dfrac{3}{t} - 3\\ \Rightarrow P'\left( t \right) = \dfrac{8}{{{{\left( {1 - t} \right)}^3}}} - \dfrac{3}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{3} \in \left( {0;1} \right)\end{array}\)
+ Khi đó \(P_{\min }^{}\) sẽ đạt giá trị \(t = \dfrac{1}{3} \Rightarrow P_{\min }^{} = 15\).
Chọn D
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
