Xét các số thực \(a,b\) thỏa mãn \(a > b > 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của

Câu hỏi số 372653:

Vận dụng

Xét các số thực \(a,b\) thỏa mãn \(a > b > 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = \log _{\dfrac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\dfrac{a}{b}} \right).\)

A. \({P_{\min }} = 19.\)

B. \({P_{\min }} = 13.\)

C. \({P_{\min }} = 14.\)

D. \({P_{\min }} = 15.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:372653

Giải chi tiết

\(P = \log _{\dfrac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\dfrac{a}{b} = 4\log _{\dfrac{a}{b}}^2a + 3{\log _b}a - 3 = \dfrac{4}{{{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right)}^2}}} + \dfrac{3}{{{{\log }_a}b}} - 3.\)

+ Đặt \(t = {\log _a}b\,\,\,\left( {a > b > 1 \Rightarrow 0 < t < 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P\left( t \right) = \dfrac{4}{{{{\left( {1 - t} \right)}^2}}} + \dfrac{3}{t} - 3\\ \Rightarrow P'\left( t \right) = \dfrac{8}{{{{\left( {1 - t} \right)}^3}}} - \dfrac{3}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{3} \in \left( {0;1} \right)\end{array}\)

+ Khi đó \(P_{\min }^{}\) sẽ đạt giá trị \(t = \dfrac{1}{3} \Rightarrow P_{\min }^{} = 15\).

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.