Cho \(a,\,\,b > 0\) thỏa mãn \({\log _{4{\rm{a}} + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log

Câu hỏi số 372660:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b > 0\) thỏa mãn \({\log _{4{\rm{a}} + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4{\rm{a}} + 5b + 1} \right) = 2.\) Giá trị của \(a + 2b\) bằng:

A. \(9.\)

B. \(\dfrac{{20}}{3}.\)

C. \(6.\)

D. \(\dfrac{{27}}{4}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:372660

Giải chi tiết

\(\log _{4a + 5b + 1}^{}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + \log _{8ab + 1}^{}\left( {4a + 5b + 1} \right) = 2\,\,\,\left( * \right).\)

+ Áp dụng bất đẳng thức Co-si:

\(\begin{array}{l}\log _{4a + 5b + 1}^{}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) \ge 2\sqrt {{{\log }_{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right).{{\log }_{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right)} \\ \Leftrightarrow 2 \ge 2\sqrt {{{\log }_{8ab + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right)} \Leftrightarrow {\log _{8ab + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow 16{a^2} + {b^2} + 1 \le 8ab + 1 \Leftrightarrow {\left( {4a - b} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow 4a - b = 0 \Leftrightarrow b = 4a\end{array}\)

+ Phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow {\log _{24a + 1}}\left( {32{a^2} + 1} \right) + {\log _{32{a^2} + 1}}\left( {24a + 1} \right) = 2\)

+ Đặt \(\log _{24a + 1}^{}\left( {32{a^2} + 1} \right) = t\)

Nhận xét:

Vì \(a > 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}32{a^2} + 1 > 1\\24a + 1 > 1\end{array} \right. \Rightarrow \log _{24a + 1}^{}\left( {32{a^2} + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow t > 0\)

\( \Rightarrow t + \dfrac{1}{t} = 2 \Leftrightarrow t = 1\,\,\left( {tm} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \log _{24a + 1}^{}\left( {32{a^2} + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow 32{a^2} + 1 = 24a + 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\a = \dfrac{3}{4}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow b = 3 \Rightarrow P = a + 2b = \dfrac{{27}}{4}\end{array}\)

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.