Tìm số tự nhiên \(n\), biết \({2^n} - 1 - 2 - {2^2} - {2^3} - ... - {2^{100}} = 1\)

Câu hỏi số 373094:

Vận dụng cao

A. \(n = 99\)

B. \(n = 100\)

C. \(n = 101\)

D. \(n = 102\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:373094

Phương pháp giải

Biến đổi:

\(\begin{array}{l}{2^n} - 1 - 2 - {2^2} - {2^3} - ... - {2^{100}} = 1\\ \Rightarrow {2^n} - 1 = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\end{array}\)

Tính giá trị biểu thức \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\), sau đó dựa vào kết quả để tìm \(n\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{2^n} - 1 - 2 - {2^2} - {2^3} - ... - {2^{100}} = 1\\ \Rightarrow {2^n} - 1 = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\end{array}\)

Đặt \(A = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2.A = 2.\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}} \right) = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{101}}\\ \Rightarrow 2A - A = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{101}}} \right) - \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}} \right)\\ \Rightarrow A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{101}} - 1 - 2 - {2^2} - {2^3} - ... - {2^{100}}\\ \Rightarrow A = {2^{101}} - 1\end{array}\)

Suy ra \({2^n} - 1 = {2^{101}} - 1\) . Do đó \(n = 101\) .

Vậy \(n = 101.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link