Giải hệ phương trình : (x,y ∈ R)

Câu hỏi số 37437:

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+2x+2}+1)(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\\ \sqrt{y-xy+9}+2012=\sqrt{y^{2}+2y+4}+2013x \end{matrix}\right.$ (x,y ∈ R)

A. (x ; y) = (1 ;-1)

B. (x ; y) = (-1 ; -2)

C. (x ; y) = (1 ; 2)

D. (x ; y) = (1 ; -2)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:37437

Giải chi tiết

Đặt $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+2x+2}+1)(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\: \, (1)\\ \sqrt{y-xy+9}+2012=\sqrt{y^{2}+2y+4}+2013x\, \, \, (2)\end{matrix}\right.$

Điều kiện : y - xy + 9 ≥ 0

PT (1) ⇔ (x + 1) + $\sqrt{(x+1)^{2}+1}$ = -y + $\sqrt{(-y)^{2}+1}$

Xét hàm số : f(t) = t + $\sqrt{t^{2}+1}$ trên R

Chứng minh f(t) đồng biến trên R ta được x + 1 = -y

Phương trình (2) trở thành : $\sqrt{x^{2}+8}-\sqrt{x^{2}+3}$ = 2013x - 2012 (3)

∀x ∈ R có x²+ 8 > x²+ 3 => 2013x – 2012 > 0 => x >0

Phương trình (3) ⇔ $(\sqrt{x^{2}+8}-3)-(\sqrt{x^{2}+3}-2)$ - 2013(x - 1) = 0

⇔ (x - 1) $[\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+8}-3}-\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+3}-2}-2013]$ = 0

Đặt T = $\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+8}-3}-\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+3}-2}$ - 2013

Vì x > 0 nên T < 0 do đó x - 1= 0 ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1 (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ; y) = (1 ; -2)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.