Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 48.\) Tìm giá trị lớn nhất của

Câu hỏi số 374924:

Vận dụng cao

Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 48.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(A = \sqrt {{x^3} + 8} + \sqrt {{y^3} + 8} + \sqrt {{z^3} + 8} .\)

A. \(16\sqrt 2 \)

B. \(12\sqrt 2 \)

C. \(20\sqrt 2 \)

D. \(18\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:374924

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 48.\) Tìm giá trị lớn nhất của

\(A = \sqrt {{x^3} + 8} + \sqrt {{y^3} + 8} + \sqrt {{z^3} + 8} .\)

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\sqrt {{x^3} + 8} = \sqrt {x + 2} \sqrt {{x^2} - 2x + 4} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {2x + 4} \sqrt {{x^2} - 2x + 4} \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\frac{{2x + 4 + {x^2} - 2x + 4}}{2}} \right) = \frac{{{x^2} + 8}}{{2\sqrt 2 }}.\)

Tương tự: \(\sqrt {{y^3} + 8} \le \frac{{{y^2} + 8}}{{2\sqrt 2 }},\sqrt {{z^3} + 8} \le \frac{{{z^2} + 8}}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow A \le \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2} + 24}}{{2\sqrt 2 }} = 18\sqrt 2 .\)

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 48\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = 4.\)

Vậy \(Max\,\,A = 18\sqrt 2 \) khi \(x = y = z = 4.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10