Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 48.\) Tìm giá trị lớn nhất của

Câu hỏi số 374924:

Vận dụng cao

Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 48.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(A = \sqrt {{x^3} + 8} + \sqrt {{y^3} + 8} + \sqrt {{z^3} + 8} .\)

A. \(16\sqrt 2 \)

B. \(12\sqrt 2 \)

C. \(20\sqrt 2 \)

D. \(18\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:374924

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 48.\) Tìm giá trị lớn nhất của

\(A = \sqrt {{x^3} + 8} + \sqrt {{y^3} + 8} + \sqrt {{z^3} + 8} .\)

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\sqrt {{x^3} + 8} = \sqrt {x + 2} \sqrt {{x^2} - 2x + 4} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {2x + 4} \sqrt {{x^2} - 2x + 4} \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\frac{{2x + 4 + {x^2} - 2x + 4}}{2}} \right) = \frac{{{x^2} + 8}}{{2\sqrt 2 }}.\)

Tương tự: \(\sqrt {{y^3} + 8} \le \frac{{{y^2} + 8}}{{2\sqrt 2 }},\sqrt {{z^3} + 8} \le \frac{{{z^2} + 8}}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow A \le \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2} + 24}}{{2\sqrt 2 }} = 18\sqrt 2 .\)

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 48\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = 4.\)

Vậy \(Max\,\,A = 18\sqrt 2 \) khi \(x = y = z = 4.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.