1. Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a.\) a) Xác định vị trí điểm \(I\) thỏa mãn

Câu hỏi số 374923:

Vận dụng

1. Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a.\)

a) Xác định vị trí điểm \(I\) thỏa mãn \(4\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) và tính độ dài \(IA,IB,IC.\)

b) Cho điểm \(M\) thay đổi nhưng luôn thỏa mãn đẳng thức \(4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3{a^2}.\) Chứng minh rằng điểm \(M\) luôn thuộc một đường tròn cố định.

2. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác ABC có các đỉnh \(A\left( {1; - 2} \right),B\left( {2;1} \right),C\left( { - 2;3} \right).\) Tìm tọa độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:374923

Phương pháp giải

1. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác.

2. Hai vectơ vuông góc với nhau thì có tích vô hướng bằng không.

Giải chi tiết

1) Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a.\)

a) Xác định vị trí điểm \(I\) thỏa mãn \(4\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) và tính độ dài \(IA,IB,IC.\)

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC.\)

\(4\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IG} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IG} = \overrightarrow 0 \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AG.\)

Gọi K là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC đều nên \(AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = \frac{{2AK}}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow IA = \frac{{AG}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\)

\(IK = AK - IA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} - \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

Theo định lý Py-ta-go ta có: \(IB = \sqrt {I{K^2} + B{K^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{9} + \frac{{{a^2}}}{4}} \Rightarrow IB = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}.\)

Tương tự ta tính được \(IC = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}.\)

b) Cho điểm \(M\) thay đổi nhưng luôn thỏa mãn đẳng thức \(4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3{a^2}.\) Chứng minh rằng điểm \(M\) luôn thuộc một đường tròn cố định.

\(\begin{array}{l}4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 4{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\ = 6M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {4\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + I{B^2} + I{C^2}\\ = 6M{I^2} + I{B^2} + I{C^2}\\ \Rightarrow 6M{I^2} + I{B^2} + I{C^2} = 3{a^2}\\ \Rightarrow 6M{I^2} + 2.\frac{{{a^2}.21}}{{36}} = 3{a^2}\\ \Rightarrow MI = \frac{{a\sqrt {11} }}{6}.\end{array}\)

Vậy điểm \(M\) luôn nằm trên đường tròn tâm \(I,\) bán kính \(\frac{{a\sqrt {11} }}{6}.\)

2) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác ABC có các đỉnh \(A\left( {1; - 2} \right),B\left( {2;1} \right),C\left( { - 2;3} \right).\) Tìm tọa độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC.\)

Gọi \(H\left( {a;b} \right).\)

Có \(\overrightarrow {AH} = \left( {a - 1;b + 2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 4;2} \right),\overrightarrow {BH} = \left( {a - 2;b - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;5} \right).\)

Vì \(\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right).\left( { - 4} \right) + \left( {b + 2} \right).2 = 0\\\left( {a - 2} \right).\left( { - 3} \right) + \left( {b - 1} \right).5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{19}}{7}\\b = \frac{{10}}{7}\end{array} \right..\)

Vậy \(H\left( {\frac{{19}}{7};\frac{{10}}{7}} \right).\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10