Đặt một điện áp \({\rm{u = U}}\sqrt {\rm{2}} {\rm{cos\omega t}}\,\,\left( {\rm{V}} \right)\) (U và ω

Câu hỏi số 375429:

Vận dụng cao

Đặt một điện áp \({\rm{u = U}}\sqrt {\rm{2}} {\rm{cos\omega t}}\,\,\left( {\rm{V}} \right)\) (U và ω không đổi) vào hai đầu đoạn mạch như hình vẽ.

Biết \({{\rm{Z}}_{\rm{L}}}{\rm{ = R}}\sqrt {\rm{3}} \). Điều chỉnh \({\rm{C = }}{{\rm{C}}_{\rm{1}}}\) thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện đạt cực đại và hệ số công suất trong mạch là \({\rm{cos}}{{\rm{\varphi }}_{\rm{1}}}\). Điều chỉnh \({\rm{C = }}{{\rm{C}}_2}\) để tổng điện áp hiệu dụng \({{\rm{U}}_{{\rm{AM}}}}{\rm{ + }}{{\rm{U}}_{{\rm{MB}}}}\) đạt giá trị cực đại thì hệ số công suất trong mạch là \({\rm{cos}}{{\rm{\varphi }}_2}\). Khi \({\rm{C = }}{{\rm{C}}_3}\) thì hệ số công suất của mạch là \({\rm{cos}}{{\rm{\varphi }}_{\rm{3}}}{\rm{ = cos}}{{\rm{\varphi }}_{\rm{1}}}{\rm{.cos}}{{\rm{\varphi }}_{\rm{2}}}\) và cường độ dòng điện trong mạch chậm pha hơn điện áp hai đầu đoạn mạch, khi đó tỉ số giữa điện trở thuần và dung kháng của tụ điện gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 0,42

B. 0,92

C. 2,37

D. 1,08

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:375429

Phương pháp giải

Áp dụng hệ quả điện áp hai đầu tụ điện đạt cực đại.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia – côp – xki để tìm cực trị.

Giải chi tiết

Ta chuẩn hóa \({\rm{R = 1}} \Rightarrow {{\rm{Z}}_{\rm{L}}}{\rm{ = }}\sqrt {\rm{3}} \)

Khi \({\rm{C = }}{{\rm{C}}_{\rm{1}}}\), điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện đạt cực đại, khi đó ta có:

\(\begin{gathered}
{\text{cos}}{\varphi _{\text{1}}}{\text{ = sin}}{\varphi _{{\text{RL}}}}{\text{ = }}\frac{{{{\text{Z}}_{\text{L}}}}}{{\sqrt {{{\text{R}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{Z}}_{\text{L}}}^{\text{2}}} }} \hfill \\
\Rightarrow {\text{cos}}{\varphi _{\text{1}}}{\text{ = }}\frac{{\sqrt {\text{3}} }}{{\sqrt {{{\text{1}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\left( {\sqrt {\text{3}} } \right)}^{\text{2}}}} }}{\text{ = }}\frac{{\sqrt {\text{3}} }}{{\text{2}}} \hfill \\
\end{gathered} \)

Khi \({\rm{C = }}{{\rm{C}}_{\rm{2}}}{\rm{,}}\,\,\left( {{{\rm{U}}_{{\rm{AM}}}}{\rm{ + }}{{\rm{U}}_{{\rm{MB}}}}} \right){\rm{max}}\), áp dụng bất đẳng thức Bunhia – côp – xki ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {{{\rm{U}}_{{\rm{AM}}}}^{\rm{2}}{\rm{ + }}{{\rm{U}}_{{\rm{MB}}}}^{\rm{2}}} \right)\left( {{{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{1}}^{\rm{2}}}} \right) \ge \left( {{{\rm{U}}_{{\rm{AM}}}}{\rm{.1 + }}{{\rm{U}}_{{\rm{MB}}}}{\rm{.1}}} \right)\\ \Rightarrow {{\rm{U}}_{{\rm{AM}}}}{\rm{ + }}{{\rm{U}}_{{\rm{MB}}}} \le \sqrt {\left( {{{\rm{U}}_{{\rm{AM}}}}^{\rm{2}}{\rm{ + }}{{\rm{U}}_{{\rm{MB}}}}^{\rm{2}}} \right)\left( {{{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{1}}^{\rm{2}}}} \right)} \end{array}\)

(dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {{\rm{U}}_{{\rm{AM}}}}{\rm{ = }}{{\rm{U}}_{{\rm{MB}}}}\))

Vậy để \(\left( {{{\rm{U}}_{{\rm{AM}}}}{\rm{ + }}{{\rm{U}}_{{\rm{MB}}}}} \right){\rm{max}} \Leftrightarrow {{\rm{U}}_{{\rm{AM}}}}{\rm{ = }}{{\rm{U}}_{{\rm{MB}}}}\)

\( \Rightarrow {{\rm{Z}}_{{\rm{AM}}}}{\rm{ = }}{{\rm{Z}}_{{\rm{MB}}}} \Rightarrow \sqrt {{{\rm{R}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{Z}}_{\rm{L}}}^{\rm{2}}} {\rm{ = }}{{\rm{Z}}_{{{\rm{C}}_{\rm{2}}}}} \Rightarrow {{\rm{Z}}_{{{\rm{C}}_{\rm{2}}}}}{\rm{ = 2}}\)

Hệ số công suất của mạch lúc này là:

\({\rm{cos}}{{\rm{\varphi }}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}\dfrac{{\rm{R}}}{{\sqrt {{{\rm{R}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\left( {{{\rm{Z}}_{\rm{L}}}{\rm{ - }}{{\rm{Z}}_{{{\rm{C}}_{\rm{2}}}}}} \right)}^{\rm{2}}}} }}{\rm{ = }}\dfrac{{\rm{1}}}{{\sqrt {{{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\left( {\sqrt {\rm{3}} {\rm{ - 2}}} \right)}^{\rm{2}}}} }}{\rm{ = 0,966}}\)

Khi \({\rm{C = }}{{\rm{C}}_3}\) thì dòng điện trong mạch sớm pha hơn điện áp

\( \Rightarrow {{\rm{Z}}_{{{\rm{C}}_{\rm{3}}}}}{\rm{ > }}{{\rm{Z}}_{\rm{L}}}\), mạch có tính dung kháng.

Hệ số công suất khi đó:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{\text{cos}}{\varphi _{\text{3}}}{\text{ = }}\frac{{\text{R}}}{{\sqrt {{{\text{R}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\left( {{{\text{Z}}_{\text{L}}}{\text{ - }}{{\text{Z}}_{{{\text{C}}_{\text{3}}}}}} \right)}^{\text{2}}}} }}{\text{ = cos}}{\varphi _{\text{1}}}.{\text{cos}}{\varphi _{\text{2}}}} \\
\begin{gathered}
\Rightarrow \frac{{\text{1}}}{{\sqrt {{{\text{1}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\left( {\sqrt {\text{3}} {\text{ - }}{{\text{Z}}_{{{\text{C}}_{\text{3}}}}}} \right)}^{\text{2}}}} }}{\text{ = }}\frac{{\sqrt {\text{3}} }}{{\text{2}}}.{\text{0}},{\text{966}} \hfill \\
\Rightarrow {{\text{Z}}_{{{\text{C}}_{\text{3}}}}}{\text{ = 1}},{\text{077}} \Rightarrow \frac{{\text{R}}}{{{{\text{Z}}_{{{\text{C}}_{\text{3}}}}}}}{\text{ = }}\frac{{\text{1}}}{{{\text{1}},{\text{077}}}} \approx {\text{0}},{\text{928}} \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.