Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC,\) lấy điểm \(A\) bất kỳ trên đường tròn

Câu hỏi số 377211:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC,\) lấy điểm \(A\) bất kỳ trên đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A\) khác \(B\) và \(C\)). Kẻ \(OE \bot AB\) tại \(E\) và kẻ \(OF \bot AC\) tại \(F,\) tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt \(CA\) tại \(D.\) Tia \(OE\) cắt \(BD\) tại \(M.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BF\) và \(AO,\) gọi \(K\) là giao điểm của \(IC\) và \(OF.\)

a) Chứng minh tứ giác \(OEAF\) là hình chữ nhật và \(D{B^2} = DA.DC\)

b) Chứng minh \(MA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right).\)

c) Chứng minh \(K\) là trung điểm của \(OF.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:377211

Phương pháp giải

a) Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.

b) Chứng minh \(MA \bot OA\)bằng cách sử dụng hai tam giác bằng nhau.

c) Chứng minh K là trung điểm của OF qua tính chất của đường trung bình trong 2 tam giác ABC và CBE.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(OEAF\) là hình chữ nhật và \(D{B^2} = DA.DC\)

Xét \(\Delta ABC\) có:

\(OA = OB = OC\,\,\left( { = R} \right)\) và \(O\) là trung điểm của \(BC\) (gt)

\( \Rightarrow \Delta ABC\)vuông tại \(A.\)

\( \Rightarrow \angle EAF = {90^0}\)

Xét tứ giác \(OEAF\) ta có :

\(\angle EAF = \angle OEA = \angle OFA = {90^0}\)

\( \Rightarrow OEAF\) là hình chữ nhật . (dhnb)

Ta có \(BD\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) \( \Rightarrow \angle OBD = {90^0}\,\,\,\,hay\,\,\,\,\angle CBD = {90^0}\)

Xét \(\Delta CBD\) vuông tại \(B\) có \(BA \bot CD\,\,\,\left( {do\,BA \bot CA} \right)\), theo hệ thức lượng tròn tam giác vuông, ta có:

\(D{B^2} = DA.DC\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

b) Chứng minh \(MA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right).\)

Xét \(\Delta OAB\) có: \(OA = OB\left( { = R} \right)\); \(OE \bot AB = \left\{ E \right\}\)

\( \Rightarrow OE\) là đường cao đồng thời là đường phân giác của \(\Delta OAB\) cân tại \(O.\) (tính chất)

\( \Rightarrow \angle BOE = \angle AOE\,\,\,\,hay\,\,\,\,\angle BOM = \angle AOM\,\,\,\,\left( {do\,M \in OE} \right)\)

Xét \(\Delta BOM\)và \(\Delta AOM\)có:

\(\begin{array}{l}OB = OA\,\,\,\left( { = R} \right)\\\angle BOM = \angle AOM\,\,\,\left( {cmt} \right)\\OM\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta BOM = \Delta AOM\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow \angle OBM = \angle OAM = {90^0}\\ \Rightarrow OA \bot AM\end{array}\)

\( \Rightarrow MA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right).\) (đpcm)

c) Chứng minh \(K\) là trung điểm của \(OF.\)

Ta dễ dàng chứng minh được \(E,\,\,F\) là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) (do \(\Delta OAB\) và \(\Delta OAC\)cân tại \(O\))

Xét \(\Delta ABC\)có hai đường trung tuyến \(BF\) và \(AO\) cắt nhau tại \(I\) (gt)

\( \Rightarrow I\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow C,\,\,K,\,\,I,\,\,E\) thẳng hàng.

Ta có: \(OF\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow OF = \frac{1}{2}AB \Rightarrow OF = AE = BE\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác trong \(\Delta CBE\)có:

\(O\) là trung điểm của \(BC\)

\(OK\parallel BE\,\,\,\,\left( {do\,\,\,OF//AB} \right)\)

\( \Rightarrow OK\) chính là đường trung bình của \(\Delta CBE\) (định lý đảo).

\( \Rightarrow OK = \frac{1}{2}BE \Rightarrow OK = \frac{1}{2}OF\)

\( \Rightarrow K\) là trung điểm của \(OF.\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link