Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = 2x + \sqrt {a{x^2} + bx + 4} \) có một đường tiệm cận ngang

Câu hỏi số 377423:

Vận dụng

Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = 2x + \sqrt {a{x^2} + bx + 4} \) có một đường tiệm cận ngang là \(y = - 1\). Tính \(2a - {b^3}\)?

A. \( - 72\)

B. \(72\)

C. \(56\)

D. \( - 56\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:377423

Phương pháp giải

Hàm số có đường tiệm cận ngang là \(y = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = a\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = a\)

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(a{x^2} + bx + 4 \ge 0\).

Ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,y = 2x + \sqrt {a{x^2} + bx + 4} \\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{\left( {2x + \sqrt {a{x^2} + bx + 4} } \right)\left( {2x - \sqrt {a{x^2} + bx + 4} } \right)}}{{2x - \sqrt {a{x^2} + bx + 4} }}\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{4{x^2} - \left( {a{x^2} + bx + 4} \right)}}{{2x - \sqrt {a{x^2} + bx + 4} }}\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{\left( {4 - a} \right){x^2} - bx - 4}}{{2x - \sqrt {a{x^2} + bx + 4} }}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \dfrac{{\left( {4 - a} \right)x - b - \dfrac{4}{x}}}{{2 - \sqrt {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} }},\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \dfrac{{\left( {4 - a} \right)x - b - \dfrac{4}{x}}}{{2 + \sqrt {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} }}\end{array}\)

Hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là \(y = - 1\) khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4 - a = 0\\\dfrac{{ - b}}{{2 - \sqrt a }} = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4 - a = 0\\\dfrac{{ - b}}{{2 + \sqrt a }} = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}Vo\,\,nghiem\\\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2a - {b^3} = 2.4 - {4^3} = - 56\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.