Cho hai số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn điều kiện \(3{\left( {x + y} \right)^2} + 5{\left( {x - y} \right)^2}

Câu hỏi số 378305:

Vận dụng cao

Cho hai số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn điều kiện \(3{\left( {x + y} \right)^2} + 5{\left( {x - y} \right)^2} = 4\). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn \(m\left( {2xy + 1} \right) = 1010{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} + 1010{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2}\)?

A. \(235\)

B. \(1175\)

C. \(1176\)

D. \(236\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378305

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,3{\left( {x + y} \right)^2} + 5{\left( {x - y} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 6xy + 5{x^2} + 5{y^2} - 10xy = 4\\ \Leftrightarrow 8\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 4xy + 4\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = xy + 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = \frac{{xy + 1}}{2}\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Mặt khác ta lại có \({\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 4{x^2}{y^2}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = u\\xy = v\end{array} \right.\), từ (1) và (2) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{2}\left( {v + 1} \right)\\{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} = {u^2} - 4{v^2} = \frac{1}{4}{\left( {v + 1} \right)^2} - 4{v^2}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {u^2} = \frac{1}{4}{v^2} + \frac{1}{2}v + \frac{1}{4} - 4{v^2} = - \frac{{15}}{4}{v^2} + \frac{1}{2}v + \frac{1}{4}\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} \ge 0\\{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} \ge 0\\{x^2} + {y^2} \ge 2xy\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( {v + 1} \right) \ge 0\\ - \frac{{15}}{4}{v^2} + \frac{1}{2}v + \frac{1}{4} \ge 0\\\frac{1}{2}\left( {v + 1} \right) \ge 2v\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v \ge - 1\\ - \frac{1}{5} \le v \le \frac{1}{3}\\v \le \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow - \frac{1}{5} \le v \le \frac{1}{3}\).

Thay \({x^2} + {y^2} = u,\,\,xy = v\) và \(u = \frac{1}{2}\left( {v + 1} \right),\,\,{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} = - \frac{{15}}{4}{v^2} + \frac{1}{2}v + 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}m\left( {2v + 1} \right) = 1010{\left[ {\frac{1}{2}\left( {v + 1} \right)} \right]^2} + 1010\left[ { - \frac{{15}}{4}{v^2} + \frac{1}{2}v + \frac{1}{4}} \right]\\ \Leftrightarrow m\left( {2v + 1} \right) = 1010\left[ {\frac{1}{4}{v^2} + \frac{1}{2}v + \frac{1}{4} - \frac{{15}}{4}{v^2} + \frac{1}{2}v + \frac{1}{4}} \right]\\ \Leftrightarrow m\left( {2v + 1} \right) = 1010\left[ { - \frac{7}{2}{v^2} + v + \frac{1}{2}} \right]\\ \Leftrightarrow m = \frac{{505\left( { - 7{v^2} + 2v + 1} \right)}}{{2v + 1}}\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( v \right) = \frac{{ - 7{v^2} + 2v + 1}}{{2v + 1}}\) trên \(\left[ { - \frac{1}{5};\frac{1}{3}} \right]\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( v \right) = \frac{{\left( { - 14v + 2} \right)\left( {2v + 1} \right) - \left( { - 7{v^2} + 2v + 1} \right).2}}{{{{\left( {2v + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( v \right) = \frac{{ - 28{v^2} - 14v + 4v + 2 + 14{v^2} - 4v - 2}}{{{{\left( {2v + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( v \right) = \frac{{ - 14{v^2} - 14v}}{{{{\left( {2v + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( v \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}v = 0 \in \left[ { - \frac{1}{5};\frac{1}{3}} \right]\\v = - 1 \notin \left[ { - \frac{1}{5};\frac{1}{3}} \right]\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 1,\,\,f\left( { - \frac{1}{5}} \right) = \frac{8}{{15}},\,\,f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{8}{{15}}\).

\( \Rightarrow \frac{8}{{15}} \le f\left( v \right) \le 1\,\,\forall v \in \left[ { - \frac{1}{5};\frac{1}{3}} \right] \Rightarrow \frac{{808}}{3} \le m \le 505\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {270;271;...;505} \right\}\).

Vậy số giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(505 - 270 + 1 = 236\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.