Cho hai biểu thức : \(A = \frac{{x + 7}}{{3\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} +

Câu hỏi số 378572:

Vận dụng

Cho hai biểu thức : \(A = \frac{{x + 7}}{{3\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{7\sqrt x + x}}{{9 - x}}\) với \(x > 0;x \ne 9\)

a) Tính \(A\) khi \(x = 25.\)

b) Chứng minh : \(B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}.\)

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = A.B.\)

A. \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = \frac{{32}}{{15}}\\{\rm{c)}}\,\,\min P = 2\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = \frac{{27}}{8}\\{\rm{c)}}\,\,\min P = 1\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = \frac{{29}}{5}\\{\rm{c)}}\,\,\min P = 3\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = \frac{{31}}{{18}}\\{\rm{c)}}\,\,\min P = 4\end{array}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378572

Phương pháp giải

a) Thay giá trị của \(x\) (tmđk) vào biểu thức và tính giá trị.

b) Quy đồng mẫu thức và rút gọn biểu thức.

c) Rút gọn \(P = A.B.\) Áp dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN

Giải chi tiết

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{x + 7}}{{3\sqrt x }}\)và \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{9 - x}}\) với \(x > 0;x \ne 9.\)

a) Tính \(A\) khi \(x = 25.\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 9.\)

Có:\(x = 25\) (tmđk)

Thay \(x = 25\) vào \(A\) ta được: \(A = \frac{{25 + 7}}{{3\sqrt {25} }} = \frac{{32}}{{15}}\)

Vậy khi \(x = 25\) thì \(A = \frac{{32}}{{15}}.\)

b) Rút gọn biểu thức \(B.\)

Điều kiện xác định: \(x > 0;x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{9 - x}}\\ = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) - \left( {7\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{2x - 6\sqrt x + x + 4\sqrt x + 3 - 7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{3x - 9\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\end{array}\)

Vậy \(B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x > 0;x \ne 9.\)

c) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = AB.\)

Điều kiện xác định: \(x > 0;x \ne 9\)

\(P = A.B = \frac{{x + 7}}{{3\sqrt x }}.\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{x + 7}}{{\sqrt x + 3}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{x - 9 + 16}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}}\\ = \sqrt x - 3 + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} = \left( {\sqrt x + 3} \right) + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} - 6\end{array}\)

Với mọi \(x > 0,\,\,\,x \ne 9\) ta có: \(\sqrt x + 3 > 0;\,\,\,\frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} > 0.\)

Áp dụng BĐT Cô –si cho hai số dương \(\left( {\sqrt x + 3} \right)\) và \(\frac{{16}}{{\sqrt x + 3}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {\sqrt x + 3} \right) + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x + 3} \right).\frac{{16}}{{\sqrt x + 3}}} \\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 3} \right) + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} \ge 8\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 3} \right) + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} - 6 \ge 2\end{array}\)

Hay \(P \ge 2.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x + 3 = \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} \Rightarrow {\left( {\sqrt x + 3} \right)^2} = 16\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x + 3 = 4\\\sqrt x + 3 = - 4\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(2 \Leftrightarrow x = 1.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link