Cho hai biểu thức : \(A = \frac{{x + 7}}{{3\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} +

Câu hỏi số 378572:

Vận dụng

Cho hai biểu thức : \(A = \frac{{x + 7}}{{3\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{7\sqrt x + x}}{{9 - x}}\) với \(x > 0;x \ne 9\)

a) Tính \(A\) khi \(x = 25.\)

b) Chứng minh : \(B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}.\)

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = A.B.\)

A. \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = \frac{{32}}{{15}}\\{\rm{c)}}\,\,\min P = 2\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = \frac{{27}}{8}\\{\rm{c)}}\,\,\min P = 1\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = \frac{{29}}{5}\\{\rm{c)}}\,\,\min P = 3\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = \frac{{31}}{{18}}\\{\rm{c)}}\,\,\min P = 4\end{array}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378572

Phương pháp giải

a) Thay giá trị của \(x\) (tmđk) vào biểu thức và tính giá trị.

b) Quy đồng mẫu thức và rút gọn biểu thức.

c) Rút gọn \(P = A.B.\) Áp dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN

Giải chi tiết

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{x + 7}}{{3\sqrt x }}\)và \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{9 - x}}\) với \(x > 0;x \ne 9.\)

a) Tính \(A\) khi \(x = 25.\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 9.\)

Có:\(x = 25\) (tmđk)

Thay \(x = 25\) vào \(A\) ta được: \(A = \frac{{25 + 7}}{{3\sqrt {25} }} = \frac{{32}}{{15}}\)

Vậy khi \(x = 25\) thì \(A = \frac{{32}}{{15}}.\)

b) Rút gọn biểu thức \(B.\)

Điều kiện xác định: \(x > 0;x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{9 - x}}\\ = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) - \left( {7\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{2x - 6\sqrt x + x + 4\sqrt x + 3 - 7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{3x - 9\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\end{array}\)

Vậy \(B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x > 0;x \ne 9.\)

c) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = AB.\)

Điều kiện xác định: \(x > 0;x \ne 9\)

\(P = A.B = \frac{{x + 7}}{{3\sqrt x }}.\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{x + 7}}{{\sqrt x + 3}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{x - 9 + 16}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}}\\ = \sqrt x - 3 + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} = \left( {\sqrt x + 3} \right) + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} - 6\end{array}\)

Với mọi \(x > 0,\,\,\,x \ne 9\) ta có: \(\sqrt x + 3 > 0;\,\,\,\frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} > 0.\)

Áp dụng BĐT Cô –si cho hai số dương \(\left( {\sqrt x + 3} \right)\) và \(\frac{{16}}{{\sqrt x + 3}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {\sqrt x + 3} \right) + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x + 3} \right).\frac{{16}}{{\sqrt x + 3}}} \\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 3} \right) + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} \ge 8\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 3} \right) + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} - 6 \ge 2\end{array}\)

Hay \(P \ge 2.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x + 3 = \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} \Rightarrow {\left( {\sqrt x + 3} \right)^2} = 16\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x + 3 = 4\\\sqrt x + 3 = - 4\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(2 \Leftrightarrow x = 1.\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link