Hàm số \(y = - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 1\) đồng biến

Câu hỏi số 378628:

Vận dụng

Hàm số \(y = - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\) khi \(m \in \left[ {\dfrac{a}{b}; + \infty } \right)\), với \(a,b \in \mathbb{Z}\) và \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}\) bằng

A. \(319\)

B. \(193\)

C. \(139\)

D. \(391\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378628

Phương pháp giải

- Tính \(y'\)

- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\) \( \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = - {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m + 3\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\) \( \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)\)

\( \Leftrightarrow - {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m + 3 \ge 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)\)

Có \({\Delta _{y'}}' = {\left( {m - 1} \right)^2} + m + 3 = {m^2} - m + 4 > 0\) với \(\forall m\) nên \(y'\) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Mà \(a = - 1 < 0\) nên \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow {x_1} \le 0 < 3 \le {x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {1.3^2} + 2.\left( {m - 1} \right).3 + m + 3 \le 0\\ - {1.0^2} + 2.\left( {m - 1} \right).0 + m + 3 \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1.\left( {7m - 12} \right) \le 0\\ - 1.\left( {m + 3} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{{12}}{7}\\m \ge - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{12}}{7}\)

Do đó \(m \in \left[ {\dfrac{{12}}{7}; + \infty } \right)\) hay \(a = 12,b = 7\)

Vậy \(T = {a^2} + {b^2} = {12^2} + {7^2} = 193\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.