Cho số tự nhiên \(A\) gồm \(4030\) chữ số \(1\), số tự nhiên \(B\) gồm \(2015\) chữ số \(2\).

Câu hỏi số 380892:

Vận dụng cao

Cho số tự nhiên \(A\) gồm \(4030\) chữ số \(1\), số tự nhiên \(B\) gồm \(2015\) chữ số \(2\). Chứng minh rằng \(A - B\) là một số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380892

Phương pháp giải

Gọi \(C = \underbrace {111111.....11}_{2015\,chu\,so\,1}\). Ta biểu diễn \(A\) và \(B\) theo \(C.\) Từ đó tính hiệu \(A - B\) để suy ra đó là số chính phương.

Giải chi tiết

Gọi \(C = \underbrace {111111.....11}_{2015\,chu\,so\,1}\).

Vì \(B = \underbrace {2222.....22}_{2015\,chu\,so\,2}\) nên \(B = 2.C\).

Ta có : \(A = \underbrace {11111......1}_{4030\,chu\,so\,1} = \underbrace {11111......11}_{2015\,chu\,so}\underbrace {00........0}_{2015\,chu\,so} + \underbrace {11111......1}_{2015\,chu\,so}\) \( = C{.10^{2015}} + C\)

Khi đó : \(A - B = C{.10^{2015}} + C - 2C\)\( = C{.10^{2015}} - C = C.\left( {{{10}^{2015}} - 1} \right)\)

Mà \({10^{2015}} - 1 = \underbrace {99999......9}_{2015\,chu\,so} = 9.C\)

Do đó \(A - B = C.9C = 9{C^2} = {\left( {3C} \right)^2}\).

Vậy \(A - B\) là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link