Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB.\) Vẽ hai tiếp tuyến \(Ax,\,By\) với

Câu hỏi số 380941:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB.\) Vẽ hai tiếp tuyến \(Ax,\,By\) với nửa đường tròn đó. Trên tia \(Ax\) lấy điểm \(M\) sao cho \(AM > R.\) Từ \(M\) kẻ tiếp tuyến \(MC\) với nửa đường tròn \(\left( O \right)\) (\(C\) là tiếp điểm). Tia \(MC\) cắt tia \(By\) tại \(D.\)

a) Chứng minh \(MD = MA + BD\) và \(\Delta OMD\) vuông.

b) Cho \(AM = 2R.\) Tính \(BD\) và chu vi tứ giác \(ABDM.\)

c) Tia \(AC\) cắt tia \(By\) tại \(K.\) Chứng minh \(OK \bot BM.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380941

Phương pháp giải

a) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \({h^2} = b'c'\) để tính \(BD\) .

Chu vi tứ giác bằng tổng các cạnh.

c) – Chứng minh \(\Delta AMO\) đồng dạng với \(\Delta BAK\).

- Gọi \(H\) là giao điểm của \(OK\) và \(BM\), chứng minh \(\widehat {HBO} + \widehat {KOB} = 90^\circ \) suy ra góc \(\widehat {OHB} = 90^\circ \).

Giải chi tiết

Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB.\) Vẽ hai tiếp tuyến \(Ax,\,By\) với nửa đường tròn đó. Trên tia \(Ax\) lấy điểm \(M\) sao cho \(AM > R.\) Từ \(M\) kẻ tiếp tuyến \(MC\) với nửa đường tròn \(\left( O \right)\) (\(C\) là tiếp điểm). Tia \(MC\) cắt tia \(By\) tại \(D.\)

a) Chứng minh \(MD = MA + BD\) và \(\Delta OMD\) vuông.

Xét \(\left( O \right):\) \(MA,\,MC\) là \(2\) tiếp tuyến cắt nhau tại \(M\) với tiếp điểm \(A\) và \(C\) \( \Rightarrow MA = MC.\)

\(DC,\,DB\) là \(2\) tiếp tuyến cắt nhau tại \(D\) với tiếp điểm \(B\) và \(C\) \( \Rightarrow DB = DC\)

Mà \(MD = MC + CD\)

\( \Rightarrow MD = MA + DB\)

Xét \(\left( O \right):\)

\(MA,\,MC\) là \(2\) tiếp tuyến cắt nhau tại \(M\) với tiếp điểm \(A\) và \(C\) \( \Rightarrow OM\) là tia phân giác của \(\widehat {AOC}\)

\(DC,\,DB\) là \(2\) tiếp tuyến cắt nhau tại \(D\) với tiếp điểm \(B\) và \(C\) \( \Rightarrow OD\) là tia phân giác của \(\widehat {COB}\)

Mà \(\widehat {AOC}\) và \(\widehat {COB}\) là hai góc kề bù

\( \Rightarrow OM \bot OD\) tại \(D\)

\( \Rightarrow \widehat {MOD} = 90^\circ \) nên \(\Delta OMD\) vuông tại \(O.\)

b) Cho \(AM = 2R.\) Tính \(BD\) và chu vi tứ giác \(ABDM.\)

\(AM = 2R \Rightarrow MC = 2R\)

Xét tam giác \(MOD\) vuông tại \(O,\) đường cao \(OC,\) có :

\(MC.DC = O{M^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow 2R.CD = {R^2} \Rightarrow CD = \frac{R}{2}\)

\( \Rightarrow CD = DB = \frac{R}{2}\)

Do đó chu vi tứ giác \(ABDM\) là :

\(AB + BD + DM + MA = AB + DB + DC + CM + AM\) \( = 2R + \frac{R}{2} + \frac{R}{2} + 2R + 2R = 7R\)

c) Tia \(AC\) cắt tia \(By\) tại \(K.\) Chứng minh \(OK \bot BM.\)

\(\Delta AMO\) đồng dạng với \(\Delta BAK\) (\(\widehat {MAO} = \widehat {ABK} = 90^\circ ;\,\widehat {AOM} = \widehat {BKA}\) vì cùng phụ với \(\widehat {KAB}\))

Suy ra \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AO}}{{BK}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{BO}}{{BK}}\) \( \Rightarrow \tan \widehat {MBA} = \tan \widehat {OKB}\) \( \Rightarrow \widehat {MBA} = \widehat {OKB}\)

Gọi \(H\) là giao điểm của \(OK\) và \(BM\)

Ta có \(\widehat {MBA} = \widehat {OKB} \Rightarrow \widehat {HBO} = \widehat {OKB}\)

Mà \(\widehat {OKB} + \widehat {KOB} = 90^\circ \) (\(\Delta OBK\) vuông tại \(B\))

\( \Rightarrow \widehat {HBO} + \widehat {KOB} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {HBO} + \widehat {HOB} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {OHB} = 90^\circ \)\( \Rightarrow OK \bot BM\) tại \(H.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link