Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AA',CC'\). Mặt phẳng

Câu hỏi số 381756:

Vận dụng

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AA',CC'\). Mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) chia khối hộp thành hai khối đa diện. Gọi \({V_1}\) là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh \(A\) là \({V_2}\) là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)

A. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{2}{3}\)

B. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2\)

C. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{1}{2}\)

D. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381756

Phương pháp giải

Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\)

Sử dụng bài toán phụ sau để giải bài toán.

Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có các điểm \(M,N,P\) lần lượt nằm trên các cạnh \(AA',BB',CC'\) sao cho \(\dfrac{{AM}}{{AA'}} = x;\dfrac{{BN}}{{BB'}} = y;\dfrac{{CP}}{{CC'}} = z\) thì tỉ số thể tích của \(\dfrac{{{V_{ABC.MNP}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \dfrac{{x + y + z}}{3}\)

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(A'C\)

Tứ giác \(A'MCN\) có \(\left\{ \begin{array}{l}A'M//CN\\A'M = CN = \dfrac{1}{2}CC'\end{array} \right.\) nên \(A'MCN\) là hình bình hành.

Do đó \(I\) là trung điểm của \(A'C\).

Mặt khác \(A'C\) và \(BD'\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên \(I\) nằm trên \(BD'\)

Do đó thiết diện khi cắt hình hộp bởi \(mp\left( {BMN} \right)\) là tứ giác \(BMD'N\)

Khi đó, hình hộp được chia thành 2 phần, \({V_1}\) là thể tích của khối \(BMD'NACD\)

Sử dụng bài toán phụ sau: Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có các điểm \(M,N,P\) lần lượt nằm trên các cạnh \(AA',BB',CC'\) sao cho \(\dfrac{{AM}}{{AA'}} = x;\dfrac{{BN}}{{BB'}} = y;\dfrac{{CP}}{{CC'}} = z\) thì tỉ số thể tích của \(\dfrac{{{V_{ABC.MNP}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \dfrac{{x + y + z}}{3}\)

Ta có:

\(\dfrac{{{V_{BMNAC}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{BB}}{{BB'}} + \dfrac{{AM}}{{AA'}} + \dfrac{{CN}}{{CC'}}} \right) = \dfrac{1}{3}\left( {0 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {V_{ABCMN}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{1}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\)

\(\dfrac{{{V_{ACD.MND'}}}}{{{V_{ADC.A'D'C'}}}} = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{DD'}}{{DD'}} + \dfrac{{CN}}{{CC'}} + \dfrac{{AM}}{{AA'}}} \right) = \dfrac{1}{3}.\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{2}{3} \Rightarrow {V_{MND'.ACD}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\)

Do đó,

\(\begin{array}{l}{V_1} = {V_{BMD'NADC}} = {V_{ACD.MND'}} + {V_{BMNAC}} = \left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}} \right){V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{1}{2}V\\ \Rightarrow {V_2} = \dfrac{1}{2}V \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 1\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.