Cho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x

Câu hỏi số 382639:

Vận dụng

Cho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\ln x\).

A. \(\int {f'\left( x \right)\ln xdx} = \frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + C\)

B. \(\int {f'\left( x \right)\ln xdx} = - \left( {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}}} \right) + C\)

C. \(\int {f'\left( x \right)\ln xdx} = - \left( {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + C\)

D. \(\int {f'\left( x \right)\ln xdx} = \frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}} + C\)

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

- \(F\left( x \right)\) là 1 nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).

Giải chi tiết

\(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\) nên \(\int {\frac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = \frac{1}{{2{x^2}}}\).

Và \(\left( {\frac{1}{{2{x^2}}}} \right)' = \frac{{f\left( x \right)}}{x} \Leftrightarrow - \frac{{4x}}{{4{x^4}}} = \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}}\).

\(I = \int {f'\left( x \right)\ln xdx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = f\left( x \right)\ln x - \int {\frac{{f\left( x \right)dx}}{x}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \frac{1}{{{x^2}}}\ln x - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \left( {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}}} \right) + C\end{array}\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:382639

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.