Tìm số tự nhiên \(n\) nhỏ nhất để các phân số sau đều là phân số tối giản: \(\frac{5}{{n +

Câu hỏi số 384206:

Vận dụng cao

Tìm số tự nhiên \(n\) nhỏ nhất để các phân số sau đều là phân số tối giản:

\(\frac{5}{{n + 7}},\,\,\frac{6}{{n + 8}},\,\,\frac{7}{{n + 9}}, \ldots ,\,\,\frac{{16}}{{n + 18}},\,\,\frac{{17}}{{n + 19}}\)

A. \(n = 16\)

B. \(n = 17\)

C. \(n = 18\)

D. \(n = 19\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:384206

Phương pháp giải

Tìm điều kiện của \(n\) đề các phân số có tử và mẫu có ước chung duy nhất là \(1.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\frac{5}{{n + 7}},\,\,\frac{6}{{n + 8}},\,\,\frac{7}{{n + 9}}, \ldots ,\,\,\frac{{16}}{{n + 18}},\,\,\frac{{17}}{{n + 19}}\)

Suy ra ta có dãy các phân số: \(\frac{5}{{5 + \left( {n + 2} \right)}},\frac{6}{{6 + \left( {n + 2} \right)}},\frac{7}{{7 + \left( {n + 2} \right)}}, \ldots ,\frac{{17}}{{17 + \left( {n + 2} \right)}}\).

Có thể thấy, các phân số đã cho có dạng \(\frac{a}{{a + \left( {n + 2} \right)}}\).

Để các phân số \(\frac{5}{{n + 7}},\,\,\frac{6}{{n + 8}},\,\,\frac{7}{{n + 9}}, \ldots ,\,\,\frac{{16}}{{n + 18}},\,\,\frac{{17}}{{n + 19}}\) là phân số tối giản thì \(\frac{a}{{a + \left( {n + 2} \right)}}\) là phân số tối giản.

Suy ra, \(a\) và \(a + \left( {n + 2} \right)\) là hai số nguyên tố cùng nhau \( \Rightarrow UC\left( {a,\,\,n + 2} \right) = 1\)

\( \Rightarrow n + 2\) nguyên tố cùng nhau với các số \(5,\,\,6,\,\,7, \ldots ,\,\,17\).

Do vậy \(n + 2\) là số nguyên tố nhỏ nhất mà lớn hơn \(17\).

Suy ra, \(n + 2 = 19 \Rightarrow n = 17.\)

Vậy với \(n = 17\) thì các phân số \(\frac{5}{{n + 7}},\,\,\frac{6}{{n + 8}},\,\,\frac{7}{{n + 9}}, \ldots ,\,\,\frac{{16}}{{n + 18}},\,\,\frac{{17}}{{n + 19}}\) đều là phân số tối giản.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link