Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực

Câu hỏi số 384358:

Vận dụng

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm. Giả sử phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = a + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{4}\).

A. \(7\)

B. \(\dfrac{7}{2}\)

C. \(8\)

D. \(10\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:384358

Giải chi tiết

Do \(a,\,\,b,\,\,c\) không âm nên nếu giả sử phương trình \(f\left( x \right)\) có nghiệm \(x \ge 0\) \( \Rightarrow {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1 \ge 1 > 0\). Do đó 4 nghiệm của phương trình đều âm.

Áp dụng định lý Vi-et ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = - a\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_4} + {x_1}{x_3} + {x_1}{x_4} + {x_2}{x_4} = b\\{x_1}{x_2}{x_3} + {x_2}{x_3}{x_4} + {x_3}{x_4}{x_1} + {x_1}{x_2}{x_4} = - c\\{x_1}{x_2}{x_3}{x_4} = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{4} = - \left( {\sum {{x_1}} } \right) + \dfrac{{\sum {{x_1}{x_2}} }}{2} - \dfrac{1}{4}\left( {\sum {\dfrac{1}{{{x_1}}}} } \right)\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\sum {{x_1}{x_2}} \ge \dfrac{1}{2}.6.\sqrt[6]{{{{\left( {{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}} \right)}^3}}} = \dfrac{6}{2} = 3\\\sum {\left( { - {x_1}} \right)} + \dfrac{1}{4}\sum {\dfrac{{ - 1}}{{{x_1}}} \ge 4\sqrt[4]{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}} + \dfrac{1}{4}.4\sqrt[4]{{\dfrac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}}}} = 5} \\ \Rightarrow P \ge 8.\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 8.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.