Cho phương trình \({\log _2}\left( {m{{.4}^{{x^2} - 2x}} + 9} \right) = {x^2} - 2x + 3 + {\log _2}3\). Có tất

Câu hỏi số 384359:

Vận dụng

Cho phương trình \({\log _2}\left( {m{{.4}^{{x^2} - 2x}} + 9} \right) = {x^2} - 2x + 3 + {\log _2}3\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt.

A. \(12\)

B. \(11\)

C. \(4\)

D. \(13\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:384359

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _2}\left( {m{{.4}^{{x^2} - 2x}} + 9} \right) = {x^2} - 2x + 3 + {\log _2}3\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {m{{.4}^{{x^2} - 2x}} + 9} \right) - {\log _2}3 = {x^2} - 2x + 3\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{{m{{.4}^{{x^2} - 2x}} + 9}}{3}} \right) = {x^2} - 2x + 3\\ \Leftrightarrow \frac{{m{{.4}^{{x^2} - 2x}} + 9}}{3} = {2^{{x^2} - 2x + 3}}\\ \Leftrightarrow m{.4^{{x^2} - 2x}} + 9 = {3.2^{{x^2} - 2x + 3}}\\ \Leftrightarrow m{.4^{{x^2} - 2x}} + 9 = 3.\left( {{2^{{x^2} - 2x}}{{.2}^3}} \right)\\ \Leftrightarrow m{.4^{{x^2} - 2x}} + 9 = {24.2^{{x^2} - 2x}}\\ \Leftrightarrow m{.4^{{x^2} - 2x}} - {24.2^{{x^2} - 2x}} + 9 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {2^{{x^2} - 2x}}\,\,\left( {t > 0} \right)\), phương trình trở thành: \(m{t^2} - 24t + 9 = 0\) (*).

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì (*) có 1 nghiệm lớn hơn \(\frac{1}{2}\).

TH1: \(m = 0 \Leftrightarrow t = \frac{9}{{24}}\).

Khi đó ta có \({2^{{x^2} - 2x}} = \frac{9}{{24}} \Leftrightarrow {x^2} - 2x = {\log _2}\frac{9}{{24}}\) (Vô nghiệm).

TH2: \(m \ne 0\), \(\Delta = {12^2} - 9m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{144}}{9}\,\,\left( {tm} \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình (*) có nghiệm \(t = \frac{3}{4}\).

Khi đó ta có \({2^{{x^2} - 2x}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {x^2} - 2x = {\log _2}\frac{3}{4}\), phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

TH3: \(m \ne 0\), \(\Delta = {12^2} - 9m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{144}}{9}\), khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(0 < {t_1} \le \frac{1}{2} < {t_2}\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1}{t_2} > 0\\\left( {{t_1} - \frac{1}{2}} \right)\left( {{t_2} - \frac{1}{2}} \right) \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{24}}{m} > 0\\\frac{9}{m} > 0\\\frac{9}{m} - \frac{1}{2}.\frac{{24}}{m} + \frac{1}{4} \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\frac{{ - 3}}{m} + \frac{1}{4} \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\0 < m \le 12\end{array} \right.\).

Vậy \(m \in \left( {0;12} \right] \cup \left\{ {\frac{{144}}{9}} \right\}\).

Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;...;12} \right\}\).

Vậy có 12 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.