Trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = a\), \(BC = 2a\). Các

Câu hỏi số 384365:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = a\), \(BC = 2a\). Các điểm \(M,\,\,N\) lần lượt di chuyên trên các đường thẳng \(m,\,\,n\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) tại \(A,\,\,B\) sao cho \(DM \bot CN\). Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện \(CDMN\).

A. \({a^3}\)

B. \(\frac{4}{3}{a^3}\)

C. \(\frac{8}{3}{a^3}\)

D. \(2{a^3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:384365

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

Giải chi tiết

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi \(a = 1\) ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {1;2;0} \right)\), \(D\left( {0;2;0} \right)\).

Đặt \(AM = x,\,\,BN = y\)\( \Rightarrow M\left( {0;0;x} \right)\), \(N\left( {1;0;y} \right)\).

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {DM} = \left( {0; - 2;x} \right)\), \(\overrightarrow {CN} = \left( {0; - 2;y} \right)\).

Vì \(DM \bot CN\) nên \(\overrightarrow {DM} .\overrightarrow {CN} = 0\)

\( \Rightarrow 0.0 + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right) + x.y = 0\)\( \Leftrightarrow xy = - 4 \Leftrightarrow y = - \frac{4}{x}\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CD} = \left( { - 1;0;0} \right)\\\overrightarrow {CM} = \left( { - 1; - 2;x} \right)\\\overrightarrow {CN} = \left( {0; - 2;y} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {CM} } \right] = \left( {0;x;2} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {CM} } \right].\overrightarrow {CN} = - 2x + 2y\\ \Rightarrow {V_{CDMN}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {CM} } \right].\overrightarrow {CN} } \right| = \frac{1}{6}\left| { - 2x + 2y} \right|\\ \Rightarrow {V_{CDMN}} = \frac{1}{3}\left| { - x - \frac{4}{x}} \right| \ge \frac{1}{3}2\sqrt {x.\frac{4}{x}} = \frac{4}{3}\end{array}\)

Vậy \({V_{CDMN\,\,\min }} = \frac{{4{a^3}}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.