Trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = a\), \(BC = 2a\). Các

Câu hỏi số 384365:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = a\), \(BC = 2a\). Các điểm \(M,\,\,N\) lần lượt di chuyên trên các đường thẳng \(m,\,\,n\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) tại \(A,\,\,B\) sao cho \(DM \bot CN\). Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện \(CDMN\).

A. \({a^3}\)

B. \(\frac{4}{3}{a^3}\)

C. \(\frac{8}{3}{a^3}\)

D. \(2{a^3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:384365

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

Giải chi tiết

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi \(a = 1\) ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {1;2;0} \right)\), \(D\left( {0;2;0} \right)\).

Đặt \(AM = x,\,\,BN = y\)\( \Rightarrow M\left( {0;0;x} \right)\), \(N\left( {1;0;y} \right)\).

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {DM} = \left( {0; - 2;x} \right)\), \(\overrightarrow {CN} = \left( {0; - 2;y} \right)\).

Vì \(DM \bot CN\) nên \(\overrightarrow {DM} .\overrightarrow {CN} = 0\)

\( \Rightarrow 0.0 + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right) + x.y = 0\)\( \Leftrightarrow xy = - 4 \Leftrightarrow y = - \frac{4}{x}\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CD} = \left( { - 1;0;0} \right)\\\overrightarrow {CM} = \left( { - 1; - 2;x} \right)\\\overrightarrow {CN} = \left( {0; - 2;y} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {CM} } \right] = \left( {0;x;2} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {CM} } \right].\overrightarrow {CN} = - 2x + 2y\\ \Rightarrow {V_{CDMN}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {CM} } \right].\overrightarrow {CN} } \right| = \frac{1}{6}\left| { - 2x + 2y} \right|\\ \Rightarrow {V_{CDMN}} = \frac{1}{3}\left| { - x - \frac{4}{x}} \right| \ge \frac{1}{3}2\sqrt {x.\frac{4}{x}} = \frac{4}{3}\end{array}\)

Vậy \({V_{CDMN\,\,\min }} = \frac{{4{a^3}}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.