Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = BC = CD = 2,\) \(AC = BD = 1\), \(AD = \sqrt 3 \). Tính bán kính của mặt
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = BC = CD = 2,\) \(AC = BD = 1\), \(AD = \sqrt 3 \). Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đã cho.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\).
Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta DAC\) có:
\(\begin{array}{l}AD\,\,chung\\BD = AC = 1\\AB = CD = 2\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta ADB = \Delta DAC\,\,\,\left( {c.c.c} \right)\) \( \Rightarrow \angle DAB = \angle ADC\) (2 góc tương ứng) hay \(\angle NAB = \angle NDC\).
Xét \(\Delta ABN\) và \(\Delta DCN\) có:
\(\begin{array}{l}AN = DN\,\,\left( {gt} \right);\\\angle NAB = \angle NDC\,\,\,\left( {cmt} \right);\\AB = CD = 2\,\,\left( {gt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta ABN = \Delta DCN\,\,\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow BN = CN\).
\( \Rightarrow \Delta NBC\) cân tại \(N\).
\( \Rightarrow \) Trung tuyến \(MN\) đồng thời là trung trực.
CMTT ta có \(MN\) là trung trực của \(AD\).
Lấy \(I \in MN \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = ID\\IB = IC\end{array} \right.\).
Giả sử điểm \(I\) thỏa mãn \(IA = IB\), khi đó \(IA = IB = IC = ID = R\) hay \(I\) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).
Xét \(\Delta ABD\) có: \(B{N^2} = \frac{{A{B^2} + B{D^2}}}{2} - \frac{{A{D^2}}}{4}\) \( = \frac{{{2^2} + {1^2}}}{2} - \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}}{4} = \frac{7}{4}\) \( \Rightarrow BN = \frac{{\sqrt 7 }}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(BMN\) có:
\(M{N^2} = B{N^2} - B{M^2}\)\( = \frac{7}{4} - 1 = \frac{3}{4}\) \( \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông \(IBM\) và \(IAN\) có:
\(\begin{array}{l}IM = \sqrt {I{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {{R^2} - 1} \\IN = \sqrt {I{A^2} - A{N^2}} = \sqrt {{R^2} - \frac{3}{4}} \end{array}\)
Lại có \(MN = IM + IN\)\( \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt {{R^2} - 1} + \sqrt {{R^2} - \frac{3}{4}} \).
Sử dụng MTCT, CALC 4 đáp án đã cho ta tìm được \(R = \frac{{\sqrt {39} }}{6}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
