Xét các số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(a > b > 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của

Câu hỏi số 385332:

Vận dụng

Xét các số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(a > b > 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right)\).

A. \({P_{\min }} = 14\)

B. \({P_{\min }} = 15\)

C. \({P_{\min }} = 13\)

D. \({P_{\min }} = 18\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:385332

Phương pháp giải

- Biến đổi, đưa biểu thức \(P\) về dạng chỉ còn 1 ẩn \({\log _b}a\).

- Đặt \(t = {\log _b}a\,\,\left( {t > 1} \right)\), sử dụng phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right)\\P = {\left( {{{\log }_{\frac{a}{b}}}\left( {{a^2}} \right)} \right)^2} + 3\left( {{{\log }_b}a - {{\log }_b}b} \right)\\P = {\left( {2{{\log }_{\frac{a}{b}}}a} \right)^2} + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right)\\P = 4\frac{1}{{\log _a^2\left( {\frac{a}{b}} \right)}} + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right)\\P = \frac{4}{{{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right)}^2}}} + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right)\\P = \frac{4}{{{{\left( {1 - \frac{1}{{{{\log }_b}a}}} \right)}^2}}} + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right)\\P = \frac{{4\log _b^2a}}{{{{\left( {{{\log }_b}a - 1} \right)}^2}}} + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right)\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _b}a\). Do \(a > b > 1 > 1 \Rightarrow {\log _b}a > {\log _b}b = 1\)\( \Rightarrow t > 1\).

Khi đó \(P = \frac{{4{t^2}}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} + 3\left( {t - 1} \right)\) với \(t > 1\).

\(\begin{array}{l}P' = \frac{{8t{{\left( {t - 1} \right)}^2} - 4{t^2}.2\left( {t - 1} \right)}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^4}}} + 3\\P' = \frac{{8t\left( {t - 1} \right) - 8{t^2}}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}} + 3\\P' = \frac{{ - 8t + 3{{\left( {t - 1} \right)}^3}}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}}\\P' = \frac{{3{t^3} - 9{t^2} + t - 3}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}}\\P' = \frac{{3{t^2}\left( {t - 3} \right) + \left( {t - 3} \right)}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}}\\P' = \frac{{\left( {t - 3} \right)\left( {3{t^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}}\end{array}\)

\(P' = 0 \Leftrightarrow t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 3\).

Vây \({P_{\min }} = P\left( 3 \right) = 15\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.