Cho phương trình \({\log _4}{x^2} + {\log _2}\left( {4 - x} \right) = {\log _2}\left( {2 + m} \right).\) Có bao

Câu hỏi số 386400:

Vận dụng

Cho phương trình \({\log _4}{x^2} + {\log _2}\left( {4 - x} \right) = {\log _2}\left( {2 + m} \right).\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình có nghiệm?

A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. vô số.

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:386400

Phương pháp giải

Giải phương trình logarit: \({\log _a}f\left( x \right) = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\0 < a \ne 1\\f\left( x \right) = {a^b}\end{array} \right..\)

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\4 - x > 0\\2 + m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x < 4\\m > - 2\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}{\log _4}{x^2} + {\log _2}\left( {4 - x} \right) = {\log _2}\left( {2 + m} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _{{2^2}}}{x^2} + {\log _2}\left( {4 - x} \right) = {\log _2}\left( {2 + m} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left| x \right| + {\log _2}\left( {4 - x} \right) = {\log _2}\left( {2 + m} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4 - x} \right)\left| x \right| = 2 + m\\ \Leftrightarrow \left( {4 - x} \right)\left| x \right| = 2 + m\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\left( {4 - x} \right) = 2 + m\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\,\,\,khi\,\,\,0 < x < 4\\x\left( {x - 4} \right) = 2 + m\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 0\end{array} \right..\end{array}\)

Xét phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - {x^2} + 4x = m + 2\)

Xét hàm số \(y = - {x^2} + 4x\) trong \(\left( {0;\,\,4} \right)\) ta có:

\(y' = - 2x + 4 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \left( {0;\,\,4} \right)\)

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow 0 < m + 2 < 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.\)

\(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;\,\,0;\,\,1} \right\}.\)

Xét phương trình \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x = m + 2\)

Xét hàm số \(y = {x^2} - 4x\) trong \(\left( { - \infty ;\,\,0} \right)\) ta có:

\(y' = 2x - 4 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 2\,\, \notin \left( { - \infty ;\,\,0} \right).\)

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 2\) (luôn đúng).

Vậy có vô số giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.