Cho hàm số \(y = \dfrac{{\left( {2m + 1} \right)x - 6}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) và đường thẳng \(y = x - 1\). Giả sử \(\Delta \) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B\), gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là điểm thuộc đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 2\). Giá trị của \(m\) để tam giác \(OMN\) vuông cân tại \(O\) (\(O\) là gốc tọa độ) thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 387104: Cho hàm số \(y = \dfrac{{\left( {2m + 1} \right)x - 6}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) và đường thẳng \(y = x - 1\). Giả sử \(\Delta \) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B\), gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là điểm thuộc đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 2\). Giá trị của \(m\) để tam giác \(OMN\) vuông cân tại \(O\) (\(O\) là gốc tọa độ) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {1;2} \right)\)

B. \(\left( {2;3} \right)\)

C. \(\left( { - 4; - 3} \right)\)

D. \(\left( {3;4} \right)\)

Câu hỏi : 387104

Quảng cáo

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\dfrac{{\left( {2m + 1} \right)x - 6}}{{x + 1}} = x - 1\,\,\left( {x \ne - 1} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2m + 1} \right)x - 6 = {x^2} - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 5 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để \(\Delta \) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B\) thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.

\( \Rightarrow \Delta = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 20 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m + 1 > 2\sqrt 5 \\2m + 1 < - 2\sqrt 5 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{2\sqrt 5 - 1}}{2}\\m < \dfrac{{ - 2\sqrt 5 - 1}}{2}\end{array} \right.\).

Gọi \({x_A},\,\,{x_B}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*), áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2m + 1\\{x_A}{x_B} = 5\end{array} \right.\).

\(M\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{2m + 1}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{{x_A} - 1 + {x_B} - 1}}{2} = \dfrac{{2m - 1}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M\left( {\dfrac{{2m + 1}}{2};\dfrac{{2m - 1}}{2}} \right)\).

Gọi \(N\left( {a;b} \right) \in \left( C \right)\) ta có \({\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 2\) (1) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 4a - 6b + 11 = 0\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = - 4a + 6b - 11\).

Ta có: \(\overrightarrow {OM} = \left( {\dfrac{{2m + 1}}{2};\dfrac{{2m - 1}}{2}} \right);\,\,\overrightarrow {ON} = \left( {a;b} \right)\).

Tam giác \(OMN\) vuông cân tại \(O\) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} = 0\\OM = ON\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{a\left( {2m + 1} \right)}}{2} + \dfrac{{b\left( {2m - 1} \right)}}{2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\dfrac{{{{\left( {2m + 1} \right)}^2}}}{4} + \dfrac{{{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}{4} = {a^2} + {b^2}\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2am + 2bm + a - b = 0\\ \Leftrightarrow 2m\left( {a + b} \right) = - \left( {a - b} \right)\\ \Leftrightarrow m = - \dfrac{{a - b}}{{2\left( {a + b} \right)}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow 8{m^2} + 2 = 4\left( { - 4a + 6b - 11} \right)\\ \Leftrightarrow 8.\dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{4{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + 2 = 4\left( { - 4a + 6b - 11} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4a + 6b - 11 - 2ab}}{{ - 4a + 6b - 11 + 2ab}} + 1 = 2\left( { - 4a + 6b - 11} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 8a + 12b - 22}}{{ - 4a + 6b - 11 + 2ab}} = 2\left( { - 4a + 6b - 11} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4a + 6b - 11}}{{ - 4a + 6b - 11 + 2ab}} = - 4a + 6b - 11\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4a + 6b - 11 = 0\\ - 4a + 6b - 11 + 2ab = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4a + 6b - 11 = 0\\ - 4a + 6b - 11 = 1 - 2ab\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \( - 4a + 6b - 11 = 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 0 \Leftrightarrow a = b = 0\) (Loại).

TH2: \( - 4a + 6b - 11 = 1 - 2ab\).

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 1 - 2ab\) \( \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 1\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b = 1\\a + b = - 1\end{array} \right.\)

+) Với \(a + b = 1 \Rightarrow b = 1 - a\).

Thay vào (1) ta có: \({\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( { - a - 2} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 2 = 1\\a + 2 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1 \Rightarrow b = 2\\a = - 3 \Rightarrow b = 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{{ - 1 - 2}}{2} = \dfrac{3}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = - \dfrac{{ - 3 - 4}}{2} = \dfrac{7}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

+) Với \(a + b = - 1 \Rightarrow b = - 1 - a\).

Thay vào (1) ta có: \({\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( { - a - 4} \right)^2} = 2\)\( \Leftrightarrow 2{a^2} + 12a + 18 = 0 \Leftrightarrow a = - 3\) \( \Rightarrow b = 2\).

\( \Rightarrow m = - \dfrac{{ - 3 - 2}}{{2\left( { - 1} \right)}} = - \dfrac{5}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\).

Vậy \(m = \dfrac{7}{2} \in \left( {3;4} \right)\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.