Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\) và \(M\) là một điểm trong khối lập phương đó.
Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\) và \(M\) là một điểm trong khối lập phương đó. Gọi \({V_1}\), \({V_2}\) và \({V_3}\) lần lượt là thể tích của các khối tứ diện \(MA'B'C'\), \(MACD\) và \(MABB'\). Biết rằng \({V_1} = 2{V_2} = 2{V_3}\). Tính thể tích khối tứ diện \(MA'CD\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Gọi \(E,\,\,F,\,\,G,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CD,\,\,C'D',\,\,A'B'\).
Không mất tính tổng quát, ta chọn \(M \in \left( {EFGH} \right)\).
Qua \(M\) lần lượt kẻ \(\left\{ \begin{array}{l}PQ \bot EF,\,\,PQ \bot HG\,\,\left( {P \in EF;\,\,Q \in HG} \right)\\RS \bot EH,\,\,RS \bot FG\,\,\left( {R \in EH;\,\,S \in FG} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow PQ = RS = a\).
Ta dễ dàng chứng minh được
\(\begin{array}{l}MP = d\left( {M;\left( {ABCD} \right)} \right);\,\,MQ = d\left( {M;\left( {A'B'C'D'} \right)} \right)\\MR = d\left( {M;\left( {ABB'A'} \right)} \right);\,\,MS = d\left( {M;\left( {CDD'C'} \right)} \right)\end{array}\).
Theo bài ra ta có: \({V_1} = 2{V_2} \Rightarrow d\left( {M;\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = 2d\left( {M;\left( {ABCD} \right)} \right)\) \( \Rightarrow MQ = 2MP\).
Chứng minh tương tự ta có: \(MS = 2MR\).
\( \Rightarrow MP = MR = \dfrac{a}{3};\,\,MQ = MS = \dfrac{{2a}}{3}\).
Do đó \(M\) thuộc đường phân giác của \(\angle FEH\).
Mà \(EFGH\) là hình vuông nên \(EG\) là phân giác của \(\angle FEH\).
\( \Rightarrow M \in EG\).
Gọi \(O = EG \cap FH\) ta có \(EG \bot FH\) (do \(EFGH\) là hình vuông) nên \(MO \bot FH\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot EF\\CD \bot FG\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {EFGH} \right)\) \( \Rightarrow \left( {A'B'CD} \right) \bot \left( {EFGH} \right)\).
Lại có \(\left( {A'B'CD} \right) \cap \left( {EFGH} \right) = FH\), \(MO \subset \left( {EFGH} \right) \bot FH\,\,\left( {cmt} \right)\).
\( \Rightarrow MO \bot \left( {A'B'CD} \right)\)\( \Rightarrow MO \bot \left( {A'CD} \right) \Rightarrow d\left( {M;\left( {A'CD} \right)} \right) = MO\).
Vì \(EFGH\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(EO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\(EPMR\) là hình vuông cạnh \(\dfrac{a}{3}\) nên \(EM = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
\( \Rightarrow MO = EO - EM = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{6}\).
Vì \(CD \bot \left( {ADD'A'} \right)\) nên \(CD \bot A'D\), suy ra \(A'B'CD\) là hình chữ nhật.
Có \(CD = a,\,\,A'D = a\sqrt 2 \).
\( \Rightarrow {S_{A'B'CD}} = a.a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2 \) \( \Rightarrow {S_{A'CD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \({V_{M.A'CD}} = \dfrac{1}{3}MO.{S_{A'CD}}\) \( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{6}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{{18}}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
