Cho \(x,\,\,y\) là hai số thực dương thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{1 - xy}}{{x + y}} - x - y = 2xy - 3.\) Tìm

Câu hỏi số 387519:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,\,y\) là hai số thực dương thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{1 - xy}}{{x + y}} - x - y = 2xy - 3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(S,\) biết \(S = x + 2y.\)

A. \({S_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {10} - 1}}{2}\)

B. \({S_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {10} - 5}}{2}\)

C. \({S_{\min }} = \dfrac{{3\sqrt {10} - 7}}{2}\)

D. \({S_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {10} - 3}}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:387519

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _2}\dfrac{{1 - xy}}{{x + y}} - x - y = 2xy - 3\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 - xy} \right) - {\log _2}\left( {x + y} \right) = 2xy - 3 + \left( {x + y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 - xy} \right) + 1 - {\log _2}\left( {x + y} \right) = \left( {2xy - 2} \right) + \left( {x + y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2 - 2xy} \right) + \left( {2xy - 2} \right) = {\log _2}\left( {x + y} \right) + \left( {x + y} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\)\(\left( {t > 0} \right)\) ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\).

Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), suy ra \(2 - 2xy = x + y \Leftrightarrow x\left( {2y + 1} \right) = 2 - y\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{2 - y}}{{2y + 1}}\).

Ta có: \(S = x + 2y = \dfrac{{2 - y}}{{2y + 1}} + 2y\).

\(S' = - \dfrac{5}{{{{\left( {2y + 1} \right)}^2}}} + 2 = \dfrac{{2{{\left( {2y + 1} \right)}^2} - 5}}{{{{\left( {2y + 1} \right)}^2}}}\)

\(S' = 0 \Leftrightarrow {\left( {2y + 1} \right)^2} = \dfrac{5}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2y + 1 = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\\2y + 1 = - \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 2 + \sqrt {10} }}{4}\\y = \dfrac{{ - 2 - \sqrt {10} }}{4}\end{array} \right.\)

BBT:

Dựa vào BBT ta có: \({\mathop{\rm minS}\nolimits} = S\left( {\dfrac{{ - 2 + \sqrt {10} }}{4}} \right) = \dfrac{{2\sqrt {10} - 3}}{2}\).

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.