Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2}

Câu hỏi số 387520:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 27,\) mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;\,\,0;\,\,0} \right)\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của \(\left( S \right)\) và đáy là đường tròn \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất. Biết rằng mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình dạng \(ax + by - z - 4 = 0.\) Khi đó \(a + b\) bằng:

A. \(5\)

B. \(4\)

C. \( - 4\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:387520

Phương pháp giải

Thể tích của khối nó có đường cao \(h\) và bán kính đáy \(r\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h.\)

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 27\) có tâm \(I\left( {1;\, - 2;\,\,3} \right)\) và bán kính \(R = 3\sqrt 3 .\)

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,ax + by - z - 4 = 0\) đi qua \(A\left( {2;\,\,0;\,\,0} \right)\)

\( \Rightarrow 2a - 4 = 0 \Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow \left( P \right):\,\,\,2x + by - z - 4 = 0.\)

Gọi \(O\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( P \right).\)

Đặt \(OI = x\,\,\,\left( {0 < x < 3\sqrt 3 } \right)\)

Khi đó ta có: \(r = OB = \sqrt {{R^2} - {x^2}} = \sqrt {27 - {x^2}} \)

\( \Rightarrow {V_{non}} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .\left( {27 - {x^2}} \right).x.\)

Xét hàm số \(y = \left( {27 - {x^2}} \right)x = 27x - {x^3}\) trong \(\left( {0;\,\,3\sqrt 3 } \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}y' = 27 - 3{x^2} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 27 - 3{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = 3\,\,\,\,\left( {do\,\,\,x \in \left( {0;\,\,3\sqrt 3 } \right)} \right)\\ \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left( {0;\,\,3\sqrt 3 } \right)} y = y\left( 3 \right) = 54.\\ \Rightarrow OI = 3 = d\left( {I;\,\,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.1 + b\left( { - 2} \right) - 3 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {b^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {2b + 5} \right|}}{{\sqrt {{b^2} + 5} }}.\\ \Leftrightarrow 9\left( {{b^2} + 5} \right) = {\left( {2b + 5} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 9{b^2} + 45 = 4{b^2} + 20b + 25\\ \Leftrightarrow 5{b^2} - 20b + 20 = 0\\ \Leftrightarrow b = 2.\\ \Rightarrow a + b = 2 + 2 = 4.\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.