Tìm \(a,b\) sao cho \({x^4} + a{x^3} + 6{x^2} + bx + 1\) là bình phương của một đa thức.

Câu hỏi số 388004:

Vận dụng

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = - 4\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\sqrt 2 \\b = 4\sqrt 2 \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\sqrt 2 \\b = - 4\sqrt 2 \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a = - 4\sqrt 2 \\b = - 4\sqrt 2 \end{array} \right.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:388004

Phương pháp giải

Đồng nhất hệ số.

Giải chi tiết

Giả sử \({x^4} + a{x^3} + 6{x^2} + bx + 1\) là bình phương của một đa thức \(P\left( x \right),\) khi đó \(P\left( x \right)\) là đa thức bậc hai có dạng \(P\left( x \right) = A{x^2} + Bx + C,\,\,\left( {A \ne 0} \right).\) Ta có:

\({x^4} + a{x^3} + 6{x^2} + bx + 1 = {\left( {A{x^2} + Bx + C} \right)^2} = {A^2}{x^4} + 2AB{x^3} + \left( {2AC + {B^2}} \right){x^2} + 2BCx + {C^2}\),

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{A^2} = 1\\2AB = a\\2AC + {B^2} = 6\\2BC = b\\{C^2} = 1\end{array} \right.\).

Trường hợp 1: \(A = 1\) và \(C = 1\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B = \dfrac{a}{2}\\{B^2} + 2 = 6\\B = \dfrac{b}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B = 2\\a = b = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B = - 2\\a = b = - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Trường hợp 2: \(A = 1\) và \(C = - 1\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B = \dfrac{a}{2}\\{B^2} - 2 = 6\\B = - \dfrac{b}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B = 2\sqrt 2 \\a = 4\sqrt 2 \\b = - 4\sqrt 2 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B = - 2\sqrt 2 \\a = - 4\sqrt 2 \\b = 4\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right.\).

Trường hợp 3: \(A = - 1\) và \(C = 1\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B = - \dfrac{a}{2}\\{B^2} - 2 = 6\\B = \dfrac{b}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B = 2\sqrt 2 \\a = - 4\sqrt 2 \\b = 4\sqrt 2 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B = - 2\sqrt 2 \\a = 4\sqrt 2 \\b = - 4\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right.\).

Trường hợp 4: \(A = - 1\) và \(C = - 1\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B = - \dfrac{a}{2}\\{B^2} + 2 = 6\\B = - \dfrac{b}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B = 2\\a = b = - 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B = - 2\\a = b = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 4\end{array} \right.;\,\,\left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = - 4\end{array} \right.;\,\,\left\{ \begin{array}{l}a = 4\sqrt 2 \\b = - 4\sqrt 2 \end{array} \right.;\,\,\left\{ \begin{array}{l}a = - 4\sqrt 2 \\b = 4\sqrt 2 \end{array} \right.\) là các cặp số cần tìm.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link