Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 5 = 0\);
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 5 = 0\); \(\left( Q \right):x + y + z + 1 = 0\); \(\left( R \right):x + y + z + 2 = 0\). Ứng với mỗi cặp \(A,\,\,B\) lần lượt thuộc hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right)\) thì mặt cầu đường kính \(AB\) luôn cắt mặt phẳng \(\left( R \right)\) tạo thành một đường tròn. Tìm bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Nhận xét: \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\parallel \left( R \right)\) và \(\left( R \right)\) nằm giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
- Giả sử mặt cầu đường kính \(AB\) cắt \(\left( R \right)\) theo một đường tròn \(\left( C \right)\), gọi \(r\) là bán kính của đường tròn đó. Gọi \(R\) là bán kính mặt cầu đường kính \(AB\) và \(d = d\left( {I;\left( R \right)} \right)\), áp dụng định lí Pytago: \({r^2} = {R^2} - {d^2}\).
- Chứng minh \(d\) không đổi, tìm \(d\).
- \({r_{\min }} \Leftrightarrow {R_{\min }}\), tìm điều kiện để \({R_{\min }}\) và tính \({R_{\min }}\), từ đó tính được \({r_{\min }}\).
Dễ dàng nhận thấy \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\parallel \left( R \right)\) và \(\left( R \right)\) nằm giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\)
Giả sử mặt cầu đường kính \(AB\) cắt \(\left( R \right)\) theo một đường tròn \(\left( C \right)\), gọi \(r\) là bán kính của đường tròn đó.
Gọi \(R\) là bán kính mặt cầu đường kính \(AB\), \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(d = d\left( {I;\left( R \right)} \right)\).
Do \(A \in \left( P \right),\,\,B \in \left( Q \right)\), \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên tập hợp các điểm \(I\) là mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song và cách đều hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\), do đó \(d\left( {I;\left( R \right)} \right) = d\left( {\left( \alpha \right);\left( R \right)} \right)\).
Ta có: \(\left( \alpha \right):\,\,x + y + z + 3 = 0\), chọn \(C\left( { - 3;0;0} \right) \in \left( \alpha \right)\), khi đó:
\(d\left( {\left( \alpha \right);\left( R \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 3 + 0 + 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) không đổi hay \(d = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) không đổi.
Áp dụng định lí Pytago ta có: \({r^2} = {R^2} - {d^2}\)\( \Rightarrow {r_{\min }} \Leftrightarrow {R_{\min }}\)\( \Leftrightarrow A{B_{\min }}\), khi đó \(AB \bot \left( P \right),\,\,\left( Q \right)\) và \(AB = d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right)\).
Chọn \(M\left( { - 5;0;0} \right) \in \left( P \right)\)\( \Rightarrow d\left( {M;\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 5 + 0 + 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow {R_{\min }} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\).
Vậy \({r_{\min }} = \sqrt {\dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{3}} = 1\).
Chọn C.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
