Cho \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ: Định \(m\) để bất phương trình \({\log

Câu hỏi số 389218:

Vận dụng cao

Cho \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ:

Định \(m\) để bất phương trình \({\log _2}\left[ {f\left( {x + m} \right) + 1} \right] < {\log _{\sqrt 3 }}f\left( {x + m} \right)\)đúng \(\forall x \ge 1\).

A. \(m < \dfrac{3}{2}\)

B. \(m \ge \dfrac{3}{2}\)

C. \(m > \dfrac{3}{2}\)

D. \(0 \le m < \dfrac{3}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:389218

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ.

- Áp dụng BĐT \({\left( {a + b} \right)^n} > {a^n} + {b^n}\,\,\,\forall n > 1\) để suy ra điều kiện của ẩn.

- Cô lập \(m\) và sử dụng phương pháp hàm số.

Giải chi tiết

Ta có:

\({\log _2}\left( {f\left( {x + m} \right) + 1} \right) < {\log _{\sqrt 3 }}f\left( {x + m} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {f\left( {x + m} \right) + 1} \right) < 2{\log _3}f\left( {x + m} \right)\)

Đặt \({\log _2}\left( {f\left( {x + m} \right) + 1} \right) = a;\,\,\,{\log _3}f\left( {x + m} \right) = b\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a < 2b\\{2^a} = {3^b} + 1\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1) ta có \({4^{\dfrac{a}{2}}} = {3^b} + 1 > {3^{\dfrac{a}{2}}} + {1^{\dfrac{a}{2}}}\)

Bất đẳng thức trên xảy ra với mọi \(a > 2\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {f\left( {x + m} \right) + 1} \right) = a > 2\\ \Leftrightarrow f\left( {x + m} \right) + 1 > 4\,\,\,\forall x \ge 1\\ \Leftrightarrow f\left( {x + m} \right) > 3\,\,\,\forall x \ge 1\\ \Rightarrow x + m > \dfrac{5}{2}\,\,\,\forall x \ge 1\\ \Leftrightarrow m > \dfrac{5}{2} - x\,\,\,\forall x \ge 1\\ \Rightarrow m > \dfrac{5}{2} - 2\\ \Rightarrow m > \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.