Số giá trị nguyên của \(m\) thuộc khoảng \(\left( { - 2019;2020} \right)\) để phương trình \({\log

Câu hỏi số 389264:

Vận dụng cao

Số giá trị nguyên của \(m\) thuộc khoảng \(\left( { - 2019;2020} \right)\) để phương trình \({\log _3}\left( {{3^x} + {3^{ - x}} + {3^m}} \right) = \left( {3 - {3^m}} \right){3^x} - {9^x}\) có đúng 2 nghiệm phân biệt là

A. 2018.

B. 4036.

C. 2019.

D. 2020.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:389264

Phương pháp giải

Giải phương trình bằng phương pháp hàm số.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {{3^x} + {3^{ - x}} + {3^m}} \right) = \left( {3 - {3^m}} \right){.3^x} - {9^x}\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{3^x} + {3^m} + \frac{1}{{{3^x}}}} \right) + {9^x} + {3^x}{.3^m} = {3.3^x}\\ \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{3^{2x}} + {3^x}{{.3}^m} + 1}}{{{3^x}}} + {3^{2x}} + {3^x}{.3^m} + 1 = {3.3^x} + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{3^{2x}} + {3^x}{{.3}^m} + 1} \right) - {\log _3}{3^x} + {3^2}^x + {3^x}{.3^m} + 1 = {3.3^x} + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{3^{2x}} + {3^x}{{.3}^m} + 1} \right) + {3^2}^x + {3^x}{.3^m} + 1 = {3.3^x} + {\log _3}\left( {{{3.3}^x}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số: \(y = {\log _3}t + t\,\,\,\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow y' = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = {\log _3}t + t\) là hàm đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow {3^{2x}} + {3^x}{.3^m} + 1 = {3.3^x} \Leftrightarrow {3^{2x}} + {3^x}\left( {{3^m} - 3} \right) + 1 = 0\)

Đặt \({3^x} = t > 0 \Rightarrow {t^2} + \left( {{3^m} - 3} \right)t + 1 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi \(\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm dương phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\ - \frac{b}{a} > 0\\\frac{c}{a} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{3^m} - 3} \right)^2} - 4 > 0\\3 - {3^m} > 0\\1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{2m}} - {6.3^m} + 9 - 4 > 0\\{3^m} < 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{2m}} - {6.3^m} + 5 > 0\\m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{3^m} > 5\\{3^m} < 1\end{array} \right.\\m < 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > {\log _3}5\\m < {\log _3}2\end{array} \right.\\m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m < {\log _3}2\end{array}\)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left( { - 2019;\,\,2020} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\ - 2018 \le m \le 0\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 2018; - 2017;......;0} \right\}\)

Vậy có 2019 giá trị \(m\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.