Cho đường trong \(\left( {O;R} \right)\) và đường tròn\(\left( {O';R'} \right)\) cắt nhau tại 2 điểm
Cho đường trong \(\left( {O;R} \right)\) và đường tròn\(\left( {O';R'} \right)\) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt \(A,\,\,B\). Trên tia dối tia \(AB\)lấy điểm \(C\).Kẻ tiếp tuyến \(CD,\,\,CE\) với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), trong đó \(D,\,\,E\) là các tiếp điểm và \(E\) nằm trong đường tròn \(\left( {O';R'} \right)\). Đường thẳng \(AD,\,\,AE\) cắt đường tròn\(\left( {O';R'} \right)\) lần lượt tại \(M\) và \(N\) (\(M,\,\,N\) khác \(A\)). Tia \(DE\) cắt \(MN\)tại \(I\).Chứng minh rằng:
Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:
Ta có:
\(\angle BNE = \angle AMB\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\) của đường tròn \(\left( {O'} \right)\)).
\(\angle ENI = \angle ABM\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AM\) của đường tròn \(\left( {O'} \right)\)).
Mà \(\angle BNE + \angle ENI = \angle BNI\), \(\angle AMB + \angle ABM = \angle DAB\) (góc ngoài của tam giác).
\( \Rightarrow \angle BNI = \angle DAB\)
Mà \(\angle DAB = \angle DEB\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\) của đường tròn \(\left( O \right)\)).
\( \Rightarrow \angle BNI = \angle DEB\)
Vậy tứ giác \(BEIN\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ng\(BN\)oài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
Do tứ giác \(BEIN\) nội tiếp (cmt) nên ta có:
\(\angle BEN = \angle BIN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BN\)).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {180^0} - \angle BEN = {180^0} - \angle BIN\\ \Rightarrow \angle AEB = \angle MIB\end{array}\)
Lại có \(\angle BAE = \angle BMI\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BN\) của đường tròn \(\left( {O'} \right)\)).
Vậy \(\Delta MIB\)đồng dạng với \(\Delta AEB\) (g.g).
Ta có: \(\angle BDE = \angle BAE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BE\) của đường tròn \(\left( O \right)\)).
\(\angle BMI = \angle BAN = \angle BAE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung của đường tròn \(\left( {O'} \right)\)).
\( \Rightarrow \angle BDE = \angle BMI\).
Mà \(\angle BDE = \dfrac{1}{2}\angle BOE,\,\,\angle BMI = \dfrac{1}{2}\angle BO'I\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung).
\( \Rightarrow \angle BOE = \angle BO'N\).
Tam giác \(OBE\) có \(OB = OE\) nên là tam giác cân tại \(O\).
\( \Rightarrow \angle OBE = \angle OEB = \dfrac{{{{180}^0} - \angle BOE}}{2}\).
CMTT ta có: \(\angle O'BN = \angle O'NB = \dfrac{{{{180}^0} - \angle BO'N}}{2}\).
\( \Rightarrow \angle OBE = \angle O'BN\).
Lại có: \(\angle DBE = \angle MAN = \angle MBN\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp \(AEBD\)).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle DBE - \angle OBE = \angle MBN - \angle O'BN\\ \Rightarrow \angle OBD = \angle O'BM\\ \Rightarrow \angle ODB = \angle O'MB\end{array}\)
Vì \(\Delta MIB\)đồng dạng với \(\Delta AEB\) (cmt) nên \(\angle BAE = \angle BMI\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\angle BAE = \angle BDE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BE\) của đường tròn \(\left( O \right)\)).
\( \Rightarrow \angle BMI = \angle BDE = \angle BDI\) \( \Rightarrow \) Tứ giác \(DMIB\) nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle BDI = \angle BMI\)
Do đó \(\angle ODE = \angle O'MI\).
Xét tứ giác \(ODCE\) có: \(\angle ODC + \angle OEC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ODCE\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \angle ODE = \angle OCE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OE\)).
Mà \(\angle OCE = \angle DCO\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
\( \Rightarrow \angle DCO = \angle O'MI\)
Có \(\angle DOC = \dfrac{1}{2}\angle DOE = \angle DBE = \angle MAN = \angle MBN = \angle MO'I\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle DCO = \angle O'MI\\\angle DOC = \angle MO'I\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \Delta CDO\) đồng dạng \(\Delta MIO'\)
Quảng cáo
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
