Biết rằng đường thẳng \(y = m - 3x\)cắt đồ thị \(\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\)

Câu hỏi số 390568:

Vận dụng

Biết rằng đường thẳng \(y = m - 3x\)cắt đồ thị \(\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) tại 2 điểm phân biệt \(A\)và \(B\) sao cho trọng tâm \(G\) của \(\Delta OAB\) thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) với \(O\left( {0;0} \right)\) là gốc tọa độ. Khi đó giá trị thực của tham số \(m\)thuộc tập nào sao đây:

A. \(\left( { - 2;3} \right]\)

B. \(\left( { - \infty ; - 5} \right]\)

C. \(\left( { - 5;2} \right]\)

D. \(\left( {3; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390568

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ.

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.

- Sử dụng định lí Ví-ét: \({x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\).

- \(G\) là trọng tâm của \(\Delta OAB\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_O}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_O}}}{3}\end{array} \right.\). Tìm tọa độ điểm \(G\) theo \(m\).

- Vì \(G \in \left( C \right)\) nên tọa độ điểm \(G\) thỏa mãn hàm số \(\left( C \right)\), thay tọa độ điểm \(G\) và giải phương trình tìm \(m\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ne 1\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}} = m - 3x\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3x} \right).\left( {x - 1} \right) = 2x - 1\\ \Leftrightarrow mx - m - 3{x^2} + 3x = 2x - 1\\ \Leftrightarrow - 3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để đường thẳng \(y = m - 3x\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B\) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1 \( \Leftrightarrow \Delta > 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} - 4.\left( { - 3} \right).\left( { - m + 1} \right) > 0\\ - 3 + m + 1 - m + 1 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 1 - 12m + 12 > 0\\ - 1 \ne 0\,\,\forall m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {m^2} - 10m + 13 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 5 + 2\sqrt 3 \\m < 5 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}\)

Gọi \({x_A},\,\,{x_B}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \({x_A} + {x_B} = \dfrac{{m + 1}}{3}\).

Ta có: \(A,\,\,B\) thuộc đường thẳng \(y = m - 3x\) nên \(A\left( {{x_A};m - 3{x_A}} \right);\,\,B\left( {{x_B};m - 3{x_B}} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y_A} + {y_B} = \left( {m - 3{x_A}} \right) + \left( {m - 3{x_B}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2m - 3\left( {{x_A} + {x_B}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2m - \left( {m + 1} \right) = m - 1\end{array}\)

Theo bài ra ta có: \(G\) là trọng tâm của \(\Delta OAB\)nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_O}}}{3} = \dfrac{{m + 1}}{9}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_O}}}{3} = \dfrac{{m - 1}}{3}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow G\left( {\dfrac{{m + 1}}{9};\dfrac{{m - 1}}{3}} \right)\).

Để \(G \in \left( C \right)\) thì \(\dfrac{{m - 1}}{3} = \dfrac{{2.\dfrac{{m + 1}}{9} - 1}}{{\dfrac{{m + 1}}{9} - 1}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{m - 1}}{3} = \dfrac{{2m - 7}}{{m - 8}}\\ \Leftrightarrow {m^2} - 9m + 8 = 6m - 21\\ \Leftrightarrow {m^2} - 15m + 29 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{15 - \sqrt {109} }}{2}\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = \dfrac{{15 + \sqrt {109} }}{2}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = \dfrac{{15 + \sqrt {109} }}{2} \approx 12,72 \in \left( {3; + \infty } \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.