Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), trong đó \(f\left( x \right)\) là một đa thức. Hàm số \(y =

Câu hỏi số 390601:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), trong đó \(f\left( x \right)\) là một đa thức. Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau:

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc \(\left( { - 5;5} \right)\) để hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2\left| x \right| + m} \right)\) có 9 điểm cực trị?

A. \(1\)

B. \(4\)

C. \(3\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: C

Giải chi tiết

Ta có: \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2\left| x \right| + m} \right) = f\left( {{{\left| x \right|}^2} - 2\left| x \right| + m} \right)\) có tính chất đối xứng qua trục \(Oy\). Do đó để hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 9 điểm cực trị thì hàm số \(y = h\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x + m} \right)\) có 4 điểm cực trị dương.

Ta có

\(\begin{array}{l}h'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x + m} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\left( {x - 1} \right)f'\left( {{x^2} - 2x + m} \right)\\h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\f'\left( {{x^2} - 2x + m} \right) = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x + m = - 2\\{x^2} - 2x + m = - 1\\{x^2} - 2x + m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x = - m - 2\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 2x = - m - 1\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x^2} - 2x = - m + 1\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Xét hàm số \(p\left( x \right) = {x^2} - 2x\) ta có \(p'\left( x \right) = 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

BBT:

Để phương trình \(h'\left( x \right) = 0\) có 4 nghiệm dương phân biệt ta có các TH sau:

TH1: \( - m - 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \le - 2\), khi đó mỗi phương trình (1), (2), (3) có 1 nghiệm dương khác 1, do đó phương trình \(h'\left( x \right) = 0\) có 4 nghiệm dương phân biệt (tm).

TH2: \( - m + 1 > 0 > - m - 1 > - 1 > - 2 - m\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\ - 1 < m < 0\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m < 0\).

Khi đó phương trình (1) có 1 nghiệm dương khác 1, phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1, phương trình (3) vô nghiệm, do đó phương trình \(h'\left( x \right) = 0\) có 4 nghiệm dương phân biệt (tm).

TH3: \(1 - m = 0 > - 1 - m > - 2 - m > - 1\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\m > - 1\\m < - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \).

Kết hợp các trường hợp ta có \(m \in \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left( { - 1;0} \right)\).

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow m \in \left( { - 5; - 2} \right] \cup \left( { - 1;0} \right)\), \(m \in \mathbb{Z}\).

Vậy \(m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2} \right\}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:390601

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.