Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\)có \(AB = a,\,\,AD = a\sqrt 3 .\) Tính khoảng cách giữa hai

Câu hỏi số 390604:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\)có \(AB = a,\,\,AD = a\sqrt 3 .\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BB'\) và \(AC'.\)

A. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(a\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Sử dụng định lí: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này và mặt phẳng song song với đường thẳng này chứa đường thẳng kia.

Giải chi tiết

Ta có: \(BB'\parallel AA' \Rightarrow BB'\parallel \left( {AA'C'} \right) \supset AC'\)

\( \Rightarrow d\left( {BB';AC'} \right) = d\left( {BB';\left( {ACC'} \right)} \right) = d\left( {B';\left( {ACC'} \right)} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) kẻ \(B'H \bot A'C'\,\,\left( {H \in A'C'} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}B'H \bot A'C'\\B'H \bot AA'\,\,\left( {AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow B'H \bot \left( {ACC'A'} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {B';\left( {ACC'} \right)} \right) = B'H\\ \Rightarrow d\left( {BB';AC'} \right) = B'H\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(A'B'C'\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{B'{H^2}}} = \dfrac{1}{{B'A{'^2}}} + \dfrac{1}{{B'C{'^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{3{a^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}}\\ \Rightarrow B'H = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\end{array}\)
Vậy \(d\left( {BB';AC'} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Chọn C.

Xem lời giải

Câu hỏi:390604

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.