Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\cos ^2}x.{e^{\sin x}}\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là

Câu hỏi số 390605:

Vận dụng

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\cos ^2}x.{e^{\sin x}}\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là một số có dạng \(\left( {a\sqrt 2 + b} \right).{e^{c\sqrt 2 + d}}\), trong đó \(a,\,b,\,c,\,d\) là các số nguyên. Tính \(a + b + c + d\).

A. \(4\)

B. \(6\)

C. \(0\)

D. \( - 4\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(t = \sin x\,\,\left( {t \in \left[ {0;1} \right]} \right)\).

- Lập BBT của hàm số và kết luận GTLN của hàm số.

- Đồng nhất hệ số, tìm \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) và tính tổng \(a + b + c + d\).

Giải chi tiết

Ta có: \(y = {\cos ^2}x.{e^{\sin x}} = \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right).{e^{\sin x}}\).

Đặt \(\sin x = t\,\,\,\left( {0 \le t \le 1} \right)\) ta có: \(y = \left( {1 - {t^2}} \right).{e^t}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = \left( { - 2t} \right).{e^t} + \left( {1 - {t^2}} \right){e^t} = {e^t}.\left( {1 - 2t - {t^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,y' = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1 - \sqrt 2 \notin \left[ {0;1} \right]\\t = - 1 + \sqrt 2 \in \left[ {0;1} \right]\end{array} \right.\end{array}\)

Bảng biến thiên:

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 2\\c = 1\\d = - 1\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c + d = 2 - 2 + 1 - 1 = 0.\)

Chọn C.

Xem lời giải

Câu hỏi:390605

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.