Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\cos ^2}x.{e^{\sin x}}\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\cos ^2}x.{e^{\sin x}}\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là một số có dạng \(\left( {a\sqrt 2 + b} \right).{e^{c\sqrt 2 + d}}\), trong đó \(a,\,b,\,c,\,d\) là các số nguyên. Tính \(a + b + c + d\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Đặt ẩn phụ \(t = \sin x\,\,\left( {t \in \left[ {0;1} \right]} \right)\).
- Lập BBT của hàm số và kết luận GTLN của hàm số.
- Đồng nhất hệ số, tìm \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) và tính tổng \(a + b + c + d\).
Ta có: \(y = {\cos ^2}x.{e^{\sin x}} = \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right).{e^{\sin x}}\).
Đặt \(\sin x = t\,\,\,\left( {0 \le t \le 1} \right)\) ta có: \(y = \left( {1 - {t^2}} \right).{e^t}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = \left( { - 2t} \right).{e^t} + \left( {1 - {t^2}} \right){e^t} = {e^t}.\left( {1 - 2t - {t^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,y' = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1 - \sqrt 2 \notin \left[ {0;1} \right]\\t = - 1 + \sqrt 2 \in \left[ {0;1} \right]\end{array} \right.\end{array}\)
Bảng biến thiên:
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 2\\c = 1\\d = - 1\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c + d = 2 - 2 + 1 - 1 = 0.\)
Chọn C.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
