Cho đường tròn tâm \(\left( I \right)\) nội tiếp tam giác nhọn \(ABC\). Đường vuông góc với \(CI\)
Cho đường tròn tâm \(\left( I \right)\) nội tiếp tam giác nhọn \(ABC\). Đường vuông góc với \(CI\) tại \(I\) cắt \(AC,\,\,AB\) tại \(M,\,\,N.\) Chứng minh rằng \(AM.BN = I{M^2} = I{N^2}.\)
Quảng cáo
Sử dụng tam giác đồng dạng.
Tam giác \(CMN\) có \(CI\) vừa là phân giác, vừa là đường cao \( \Rightarrow \Delta CMN\) cân tại \(C\) \( \Rightarrow IM = IN.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {AMI} = \widehat {MIC} + \widehat {{C_1}} = {90^0} + \dfrac{{\widehat C}}{2}\\\widehat {BNI} = \widehat {NIC} + \widehat {{C_2}} = {90^0} + \dfrac{{\widehat C}}{2}\end{array}\)
(góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó).
Lại có:
\(\begin{array}{l}\widehat {AIB} = {180^0} - \widehat {{A_1}} - \widehat {{B_1}} = {180^0} - \dfrac{{\widehat A + \widehat B}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - \dfrac{{{{180}^0} - \widehat C}}{2} = {90^0} + \dfrac{{\widehat C}}{2}.\end{array}\)
\( \Rightarrow \widehat {AMI} = \widehat {BNI} = \widehat {AIB}\).
Ta có: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}},\,\,\widehat {AMI} = \widehat {AIB} \Rightarrow \Delta AMI \sim \Delta AIB\,\,\left( {g.g} \right).\)
Chứng minh tương tự: \(\Delta INB \sim \Delta AIB.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AMI \sim \Delta INB \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{IN}} = \dfrac{{IM}}{{BN}}\\ \Rightarrow AM.BN = IM.IN = I{M^2} = I{N^2}.\end{array}\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
