Cho đường tròn tâm \(\left( I \right)\) nội tiếp tam giác nhọn \(ABC\). Đường vuông góc với \(CI\)
Cho đường tròn tâm \(\left( I \right)\) nội tiếp tam giác nhọn \(ABC\). Đường vuông góc với \(CI\) tại \(I\) cắt \(AC,\,\,AB\) tại \(M,\,\,N.\) Chứng minh rằng \(AM.BN = I{M^2} = I{N^2}.\)
Quảng cáo
Sử dụng tam giác đồng dạng.
Tam giác \(CMN\) có \(CI\) vừa là phân giác, vừa là đường cao \( \Rightarrow \Delta CMN\) cân tại \(C\) \( \Rightarrow IM = IN.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {AMI} = \widehat {MIC} + \widehat {{C_1}} = {90^0} + \dfrac{{\widehat C}}{2}\\\widehat {BNI} = \widehat {NIC} + \widehat {{C_2}} = {90^0} + \dfrac{{\widehat C}}{2}\end{array}\)
(góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó).
Lại có:
\(\begin{array}{l}\widehat {AIB} = {180^0} - \widehat {{A_1}} - \widehat {{B_1}} = {180^0} - \dfrac{{\widehat A + \widehat B}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - \dfrac{{{{180}^0} - \widehat C}}{2} = {90^0} + \dfrac{{\widehat C}}{2}.\end{array}\)
\( \Rightarrow \widehat {AMI} = \widehat {BNI} = \widehat {AIB}\).
Ta có: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}},\,\,\widehat {AMI} = \widehat {AIB} \Rightarrow \Delta AMI \sim \Delta AIB\,\,\left( {g.g} \right).\)
Chứng minh tương tự: \(\Delta INB \sim \Delta AIB.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AMI \sim \Delta INB \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{IN}} = \dfrac{{IM}}{{BN}}\\ \Rightarrow AM.BN = IM.IN = I{M^2} = I{N^2}.\end{array}\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
