Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(BC\). Điểm \(A\)thuộc đường tròn \(\left( O

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(BC\). Điểm \(A\)thuộc đường tròn \(\left( O \right)\). Kẻ\(AH \bot BC\)\(\left( {H \in BC} \right)\). Gọi \(I,\,\,K\)theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác \(AHB,\,\,AHC\). Đường thẳng \(IK\)cắt \(AB,\,\,AC\)lần lượt tại \(M,\,\,N\).

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng cao

Chứng minh tam giác \(AMN\) vuông cân.

Xem lời giải

Câu hỏi:393006

Phương pháp giải

Chứng minh tam giác \(HIA\) và tam giác \(HKC\) đồng dạng (g.g). Chứng minh \(\Delta IHK\)đồng dạng với \(\Delta AHC\) (c.g.c). Chứng minh tứ giác \(HKNC\) là tứ giác nội tiếp. Sử dụng tính chất các góc nội tiếp cùng chắn một cung, chứng minh \(\angle ANM = {45^0}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\angle BAH = \angle ACH\)(cùng phụ với \(\angle ABH\)).

\( \Rightarrow \angle IAH = \angle HCK\)( tính chất phân giác)

Mà \(\angle IHA = \angle KHC\,\,\,\left( { = {{45}^0}} \right)\)

Suy ra \(\Delta HIA\)đồng dạng với \(\Delta HKC\) (g.g).

\( \Rightarrow \dfrac{{HI}}{{HK}} = \dfrac{{HA}}{{HC}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{HI}}{{HA}} = \dfrac{{HK}}{{HC}}\)

Mà \(\angle IHK = {90^0}\) (góc tạo bởi hai đường phân giác của hai góc kề bù).

\(\angle AHC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\).

Suy ra \(\Delta IHK\)đồng dạng với \(\Delta AHC\) (c.g.c) \( \Rightarrow \)\(\angle IKH = \angle ACH\)(hai góc tương ứng).

\( \Rightarrow HKNC\)là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài và góc trong tại đỉnh đổi diện bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle ANM = \angle KHC = {45^0}\)(Góc ngoài và góc trong tại đỉnh đổi diện bằng nhau)

Vậy \(\Delta ANM\) vuông cân tại \(A\) (Tam giác vuông có 1 góc bằng \({45^0}\)).

Câu hỏi số 2:

Vận dụng cao

Chứng minh \({S_{AMN}} \le \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\)(\({S_{AMN}},\,\,{S_{ABC}}\) lần lượt là diện tích tam giác \(AMN,\,\,ABC\)).

Xem lời giải

Câu hỏi:393007

Phương pháp giải

Dùng hệ thức lượng trong tam giác và bất đẳng thức cô-si.

Giải chi tiết

Xét \(\Delta AIM\)và \(\Delta AIH\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle MAI = \angle HAI\\\angle AIM = \angle AIH\\AI\,\,chung\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta AIM = \Delta AIH \Rightarrow AM = AH\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} \ge \dfrac{2}{{AB.AC}}\)(áp dụng bất đẳng thức Cô-si)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A{H^2} \le \dfrac{1}{2}AB.AC\\ \Rightarrow A{M^2} \le \dfrac{1}{2}AB.AC\\ \Rightarrow {S_{AMN}} \le \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}.\end{array}\)

Quảng cáo

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link