Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) có tâm \(I\) và đường thẳng \(d:x -

Câu hỏi số 393519:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) có tâm \(I\) và đường thẳng \(d:x - y + 2 = 0\). Tìm tọa độ điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(d\) sao cho từ \(M\) kẻ được hai tiếp tuyến \(MA,\,\,\,MB\) đến đường tròn \(\left( C \right)\) và diện tích tứ giác \(MAIB\) bằng \(6\sqrt 2 \) (với \(A,\,\,B\) là các tiếp điểm).

A. \(M\left( { - 1; - 3} \right)\) hoặc \(M\left( {0;2} \right).\)

B. \(M\left( { - 3; - 1} \right)\) hoặc \(M\left( {0;2} \right).\)

C. \(M\left( {1;3} \right)\) hoặc \(M\left( {0;2} \right).\)

D. \(M\left( { - 3; - 1} \right)\) hoặc \(M\left( {2;0} \right).\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:393519

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \({S_{MAIB}} = 2{S_{MAI}} = MA.AI.\)

Trong đó:\(AI = R;\,\,\,MA = \sqrt {M{I^2} - A{I^2}} .\)

Giải chi tiết

\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + 4} = 3.\)

Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \({S_{MAIB}} = 2{S_{MAI}} = MA.AI\)

\( \Leftrightarrow MA.IA = 6\sqrt 2 \Leftrightarrow MA.3 = 6\sqrt 2 \Rightarrow MA = 2\sqrt 2 .\)

Theo định lý Py-ta-go ta có: \(M{A^2} + I{A^2} = M{I^2} \Rightarrow M{I^2} = 8 + 9 = 17.\)

Ta có: \(MI = \sqrt {17} > R\) nên \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\), thỏa mãn từ \(M\) kẻ được hai tiếp tuyến \(MA,\,\,MB\) đến đường tròn \(\left( C \right)\).

Vì \(M\) nằm trên đường thẳng \(d:\,\,x - y + 2 = 0\) nên gọi \(M\left( {a;a + 2} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MI} = \left( {1 - a; - 2 - a - 2} \right) \Rightarrow M{I^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 4 - a} \right)^2} = 17\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 1 + 16 + 8a + {a^2} = 17\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 6a + 17 = 17\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 6a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0 \Rightarrow M\left( {0;2} \right)\\a = - 3 \Rightarrow M\left( { - 3; - 1} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.