Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt

Câu hỏi số 393722:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\). Khoảng cách giữa \(AM\) và \(SC\) là

A. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(\dfrac{a}{3}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\)

D. \(a\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:393722

Phương pháp giải

- Xác định chiều cao của khối chóp: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, một đường nằm trong mặt này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

- Tìm mặt phẳng chứa\(\left( P \right)\) đường thẳng \(AM\) và song song với \(SC\), khi đó \(d\left( {AM;SC} \right) = d\left( {C;\left( P \right)} \right)\).

- Đổi \(d\left( {C;\left( P \right)} \right)\) sang khoảng cách từ chân đường cao của khối chóp đến \(\left( P \right)\).

- Xác định khoảng cách, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), do tam giác \(SAB\) đều nên \(SI \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SI \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(N\) là trung điểm của \(CD\), khi đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\) \( \Rightarrow MN\parallel SC \Rightarrow SC\parallel \left( {AMN} \right).\)

\( \Rightarrow d\left( {AM;SC} \right) = d\left( {SC;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {I;\left( {AMN} \right)} \right)\).

(do \(IC\parallel AN \Rightarrow IC\parallel \left( {AMN} \right)\)).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(IK \bot AN\,\,\left( {K \in AN} \right).\)

Gọi \(AN \cap ID = H \Rightarrow H\) là trung điểm của \(ID\) (do \(ADNI\) là hình bình hành).

\( \Rightarrow MH\) là đường trung bình của tam giác \(SID\) nên \(MH\parallel SI \Rightarrow MH \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow MH \bot IK.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IK \bot AN\\IK \bot MH\end{array} \right. \Rightarrow IK \bot \left( {AMN} \right)\). Do đó \(d\left( {I;\left( {AMN} \right)} \right) = IK.\)

Tam giác \(AIN\) vuông tại \(I\) có đường cao \(IK\) nên

\(\dfrac{1}{{I{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{I^2}}} + \dfrac{1}{{I{N^2}}} = \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow IK = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}.\)

Vậy \(d\left( {I;\left( {AMN} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\) hay \(d\left( {AM;SC} \right) = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.