Cho a, b, c là 3 số thực không âm có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F =(1 + a2) (1 + b2) (1 + c2)

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 39391:

Cho a, b, c là 3 số thực không âm có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F =(1 + a²) (1 + b²) (1 + c²)

A. Min F = $\left (\frac{5}{2} \right )^{3}$

B. Min F = $\left (\frac{10}{9} \right )^{3}$

C. Min F = $\left (\frac{8}{4} \right )^{3}$

D. Min F = $\left (\frac{10}{3} \right )^{3}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:39391

Giải chi tiết

F = (1+ a²)(1+ b²)(1+ c²) = a²+ b²+ c²+ a²b²+ a²c² + b²c²+ a²b²c² + 1

=1 – 2(ab + bc + ca) + (ab + bc + ca)²- 2abc + (abc)² +1

=(ab + bc + ca - 1)² + (1 - abc)² (1)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có :

abc ≤ $\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{3}=\frac{1}{27}$ =>( 1 – abc )^{2 ≥ (2)}

ab + bc + ca ≤ $\frac{(a+b+c)^{2}}{3}=\frac{1}{3}$

(1 – ab – bc – ca )² ≥ $\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $F\geq \left ( \frac{2}{3} \right )^{2}+\left ( \frac{26}{27} \right )^{2}=\left ( \frac{10}{9} \right )^{3}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi <=> a = b = c = $\frac{1}{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của F là $\left (\frac{10}{9} \right )^{3}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.