Cho hai điểm \(A\left( {2;1; - 1} \right);\,\,B\left( {0;3;1} \right)\). Biết tập hợp các điểm \(M \in

Câu hỏi số 394735:

Vận dụng

Cho hai điểm \(A\left( {2;1; - 1} \right);\,\,B\left( {0;3;1} \right)\). Biết tập hợp các điểm \(M \in mp\left( \alpha \right):\,\,x + y + z + 3 = 0\) thỏa mãn \(2.M{A^2} - M{B^2} = 4\) là đường tròn bán kính \(r\). Tính \(r\).

A. \(r = 2\sqrt 7 \)

B. \(r = 6\)

C. \(r = 2\sqrt 6 \)

D. \(r = 5\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:394735

Phương pháp giải

- Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\). Tính \(M{A^2},\,\,M{B^2}\), sử dụng công thức: \(M{A^2} = {\left( {{x_M} - {x_A}} \right)^2} + {\left( {{y_M} - {y_A}} \right)^2} + {\left( {{z_M} - {z_A}} \right)^2}\).

- Suy ra tập hợp biểu diễn đường \(M\) là một mặt cầu, xác định rõ tâm \(I\) và bán kính \(R\).

- Tính \(d = d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right)\), sử dụng công thức \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right),\,\,\left( \alpha \right):\,\,\,Ax + By + Cz + D = 0\), khi đó \(d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

- Giao tuyến giữa \(\left( \alpha \right)\) và mặt cầu \(\left( {I;R} \right)\) là đường tròn có bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} \).

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M{A^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2}\\M{B^2} = {x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}2.M{A^2} - M{B^2} = 4\\ \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {z + 1} \right)}^2}} \right] - \left[ {{x^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right] = 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 8x + 8 + 2{y^2} - 4y + 2 + 2{z^2} + 4z + 2 - {x^2} - {y^2} + 6y - 9 - {z^2} + 2z - 1 = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 6z - 2 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(2M{A^2} - M{B^2} = 4\) là mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {4; - 1; - 3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{4^2} + {1^2} + {3^2} + 2} = 2\sqrt 7 .\)

Mà \(M \in \left( \alpha \right) \Rightarrow M = \left( \alpha \right) \cap \left( S \right) \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn giao tuyến \(\left( C \right)\) giữa mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\).

Ta có: \(d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {4 - 1 - 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 3 = d\).

Vậy bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\) là: \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 7 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 5\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.