Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\ln \left( {{x^2} + 3x + 1} \right) + {x^2} + 3x <

Câu hỏi số 394743:

Vận dụng

Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\ln \left( {{x^2} + 3x + 1} \right) + {x^2} + 3x < 0\)

A. \(0\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:394743

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {x^2} + 3x + 1\,\,\left( {t > 0} \right)\), đưa bất phương trình về dạng \(f\left( t \right) < m\).

- Xét tính đơn điệu của hàm số \(f\left( t \right)\) và kết luận nghiệm \(t\) của bất phương trình.

- Tử nghiệm \(t\) giải bất phương trình tìm nghiệm \(x\) sau đó tìm các giá trị \(x\) nguyên thỏa mãn.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \({x^2} + 3x + 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}\\x < \dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\).

Đặt \(t = {x^2} + 3x + 1\,\,\left( {t > 0} \right)\), bất phương trình trở thành \(\ln t + t - 1 < 0 \Leftrightarrow \ln t + t < 1\).

Đặt \(f\left( t \right) = \ln t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{t} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\) \( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Lại có \(f\left( 1 \right) = \ln 1 + 1 = 1\), do đó \(f\left( t \right) < 1 = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0 < t < 1\).

\( \Rightarrow 0 < {x^2} + 3x + 1 < 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}\\x < \dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\\ - 3 < x < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - 3;\dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2};0} \right)\).

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \emptyset \).

Vậy bất phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.