Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{3}\\{u_{n + 1}} =
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{3}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{3n}};\,\,\forall n \ge 1\end{array} \right.\). Có bao nhiêu số nguyên dương \(n\)thỏa mãn \({u_n} < \dfrac{1}{{2020}}.\)
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Đặt \({v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n}\), chứng minh \({v_n}\) là 1 CSN.
- Viết công thức SHTQ của dãy \({v_n}\), từ đó suy ra SHTQ của dãy \({u_n}\).
- Giải bất phương trình tìm \(n\).
Đặt \({v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n}\) \( \Rightarrow {v_{n + 1}} = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \dfrac{{{u_n}}}{{3n}}\).
Ta có: \(\dfrac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \dfrac{{{u_n}}}{{3n}}:\dfrac{{{u_n}}}{n} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {v_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}{v_n}\,\,\forall n \ge 1\).
Do đó \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân có \({v_1} = \dfrac{{{u_1}}}{1} = \dfrac{1}{3},\,\,q = \dfrac{1}{3}\).
\( \Rightarrow \) SHTQ: \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \dfrac{1}{{{3^n}}}\).
\( \Rightarrow {u_n} = n.{v_n} = \dfrac{n}{{{3^n}}}\).
Theo bài ra ta có \({u_n} < \dfrac{1}{{2020}} \Leftrightarrow \dfrac{n}{{{3^n}}} < \dfrac{1}{{2020}}\,\,\,\left( {n \ge 1} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{3^x}}}\) với \(x \ge 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{{3^x} - x{{.3}^x}\ln 3}}{{{3^{2x}}}} = \dfrac{{1 - x\ln 3}}{{{3^x}}}\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{\ln 3}}\end{array}\)
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy có vô số giá trị nguyên của \(n\) thỏa mãn \(f\left( x \right) < \dfrac{1}{{2020}}\).
Chọn C.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
