Tìm số nghiệm \(x\) thuộc \(\left[ {0;100} \right]\) của phương trình
Tìm số nghiệm \(x\) thuộc \(\left[ {0;100} \right]\) của phương trình sau :
\({2^{\cos \pi x - 1}} + \dfrac{1}{2} = \cos \pi x + {\log _4}\left( {3\cos \pi x - 1} \right)\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Ta có
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{2^{{\rm{cos}}\pi x - 1}} + \dfrac{1}{2} = {\rm{cos}}\pi x + {\log _4}\left( {3{\rm{cos}}\pi x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {2^{{\rm{cos}}\pi x}} + 1 = 2{\rm{cos}}\pi x + {\log _2}\left( {3{\rm{cos}}\pi x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {2^{{\rm{cos}}\pi x}} + {\rm{cos}}\pi x = \left( {3{\rm{cos}}\pi x - 1} \right) + {\log _2}\left( {3{\rm{cos}}\pi x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {2^{{\rm{cos}}\pi x}} + {\log _2}{2^{{\rm{cos}}\pi x}} = \left( {3{\rm{cos}}\pi x - 1} \right) + {\log _2}\left( {3{\rm{cos}}\pi x - 1} \right)\\ \Rightarrow {2^{^{{\rm{cos}}\pi x}}} = 3{\rm{cos}}\pi x - 1\\ \Leftrightarrow {2^{^{{\rm{cos}}\pi x}}} - 3{\rm{cos}}\pi x + 1 = 0\end{array}\)
Đặt \(t = \cos \pi x\), với \(x \in \left[ {0;100} \right] \Rightarrow \pi x \in \left[ {0;100\pi } \right]\) \( \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Phương trình trở thành \({2^t} - 3t + 1 = 0\) với \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} - 3t + 1\) ta có: \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 - 3 = 0 \Leftrightarrow {2^t} = \dfrac{3}{{\ln 2}} \Rightarrow t = {\log _2}\dfrac{3}{{\ln 2}} = {t_0} \approx 2,11\).
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(f\left( t \right) = 0\) có nghiệm duy nhất \(t = 1\).
\( \Leftrightarrow \cos \pi x = 1 \Leftrightarrow \pi x = k2\pi \Leftrightarrow x = 2k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Mà \(x \in \left[ {0;100} \right] \Rightarrow 0 \le 2k \le 100 \Leftrightarrow 0 \le k \le 50\).
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;...;50} \right\}\).
Vậy phương trình đã cho có 51 nghiệm thỏa mãn.
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
