Cho hai điểm \(M\left( {3;1;1} \right);\)\(N\left( {4;3;4} \right)\) và đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 394751:

Vận dụng

Cho hai điểm \(M\left( {3;1;1} \right);\)\(N\left( {4;3;4} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\dfrac{{x - 7}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 9}}{1}\). Biết điểm \(I\left( {a;b;c} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\) sao cho \(IM + IN\) đạt giá trị nhỏ nhất. tính \(S = 2a + b + 3c\)

A. \(36\)

B. \(38\)

C. \(42\)

D. \(40\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:394751

Phương pháp giải

- Tham số hóa tọa độ điểm \(I \in d\) theo tham số \(t\).

- Tính độ dài các đoạn thẳng \(IM,\,\,IN\), sử dụng công thức \(IM = \sqrt {{{\left( {{x_I} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_I} - {y_M}} \right)}^2} + {{\left( {{z_I} - {z_M}} \right)}^2}} \).

- Đưa các biểu thức dưới dấu căn về dạng \(\sqrt {{A^2} + m} \) và đánh giá, từ đó tìm \(t\) để \(IM + IN\) đạt giá trị nhỏ nhất.

- Tìm điểm \(I\) tương ứng với giá trị \(t\) tìm được, xác định \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính \(S\).

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {t + 7;3 - 2t;9 + t} \right) \in d\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,IM + IN = \sqrt {{{\left( {t + 4} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2t} \right)}^2} + {{\left( {8 + t} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {t + 3} \right)}^2} + {{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( {5 + t} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow IM + IN = \sqrt {6{t^2} + 16t + 84} + \sqrt {6{t^2} + 16t + 34} \\ \Leftrightarrow IM + IN = \sqrt {6{{\left( {t + \dfrac{4}{3}} \right)}^2} + \dfrac{{220}}{3}} + \sqrt {6{{\left( {t + \dfrac{4}{3}} \right)}^2} + \dfrac{{70}}{3}} \end{array}\)

Khi đó \({\left( {IM + IN} \right)_{\min }} \Leftrightarrow t = - \dfrac{4}{3}\). Lúc này \(I\left( {\dfrac{{17}}{3};\dfrac{{17}}{3};\dfrac{{23}}{3}} \right)\).

Suy ra \(a = \dfrac{{17}}{3},\,\,b = \dfrac{{17}}{3},\,\,c = \dfrac{{23}}{3}\).

Vậy \(S = 2a + b + 3c = 40\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.