Cho \(a\) là hằng số dương khác 1 thỏa mãn \({a^{2\cos 2x}} \ge 4{\cos ^2}x - 1;\,\,\forall x \in
Cho \(a\) là hằng số dương khác 1 thỏa mãn \({a^{2\cos 2x}} \ge 4{\cos ^2}x - 1;\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của \(a\) thuộc khoảng nào sau đây
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Ta có \({a^{2\cos 2x}} \ge 4{\cos ^2}x - 1 \Leftrightarrow {a^{2\cos 2x}} - 2\cos 2x - 1 \ge 0\).
Đặt \(t = 2\cos 2x\,\,\left( {t \in \left[ { - 2;2} \right]} \right)\), bất phương trình trở thành \({a^t} - t - 1 \ge 0\,\,\forall t \in \left[ { - 2;2} \right]\).
Đặt \(f\left( t \right) = {a^t} - t - 1\), \(t \in \left[ { - 2;2} \right]\). Khi đó ta có: \(f'\left( t \right) = {a^t}\ln a - 1\).
TH1: Nếu \(0 < a < 1 \Rightarrow f'\left( t \right) < 0\,\,\forall t \in \left[ { - 2;2} \right]\).
\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\left[ { - 2;2} \right]\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( t \right) = f\left( 2 \right) = {a^2} - 2 - 1 = {a^2} - 3\).
\( \Rightarrow {a^2} - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \ge \sqrt 3 \\a \le - \sqrt 3 \end{array} \right.\) (mâu thuẫn với giả thiết \(0 < a < 1\)).
TH2: Nếu \(a > 1\), khi đó ta có: \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = {\log _a}\dfrac{1}{{\ln a}} = - {\log _a}\left( {\ln a} \right) = {t_0}\).
BBT:
Từ BBT ta có: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( t \right) = f\left( {{t_0}} \right) \ge 0\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^{{t_0}}} - {t_0} - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^{ - {{\log }_a}\left( {\ln a} \right)}} + {\log _a}\left( {\ln a} \right) - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\ln a}} + {\log _a}\left( {\ln a} \right) - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow a = e\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
