Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1.\) Xét các điểm \(A\left(

Câu hỏi số 394815:

Vận dụng

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1.\) Xét các điểm \(A\left( {a;b} \right)\) và \(B\) thuộc elip sao cho tam giác \(OAB\) cân cân tại \(O\) và có diện tích đạt giá trị lớn nhất. Tính tích \(ab\) biết \(a;b\) là hai số dương và điểm \(B\) có hoành độ dương.

A. \(ab = \frac{1}{2}\)

B. \(ab = 3\)

C. \(ab = 1\)

D. \(ab = \frac{1}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:394815

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

Vì \(a,b > 0\) nên điểm \(A\) nằm ở góc phần tư thứ nhất.

Tam giác OAB cân và điểm B có hoành độ dương nên điểm B đối xứng với điểm A qua trục hoành, hay \(B\left( {a; - b} \right).\)

Diện tích tam giác OAB là: \(\frac{1}{2}.a.2b = ab.\)

Vì A thuộc elip nên: \(\frac{{{a^2}}}{4} + {b^2} = 1.\)

Theo Cauchy ta có: \(\frac{{{a^2}}}{4} + {b^2} \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}}}{4}.{b^2}} = ab \Rightarrow ab \le 1.\)

Vậy diện tích tam giác OAB lớn nhất là \(1\) khi \(a = \sqrt 2 ,b = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Vậy khi đó \(ab = 1.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.