Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm trên đoạn \(\left[ {\dfrac{5}{2};4}

Câu hỏi số 395081:

Vận dụng

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm trên đoạn \(\left[ {\dfrac{5}{2};4} \right]\):

\(\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2{\left( {x - 2} \right)^2} + 4\left( {m - 5} \right)\log _{\frac{1}{2}}^{}\dfrac{1}{{x - 2}} + 4m - 4 = 0\)

A. \(m \in \mathbb{R}\).

B. \( - 3 \le m \le \dfrac{7}{3}\).

C. \(m \in \emptyset \)

D. \( - 3 < m \le \dfrac{7}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:395081

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ và khảo sát hàm số.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2{\left( {x - 2} \right)^2} + 4\left( {m - 5} \right)\log _{\frac{1}{2}}^{}\dfrac{1}{{x - 2}} + 4m - 4 = 0\,\,\,\left( {x \in \left[ {\dfrac{5}{2};4} \right]} \right)\)\( \Leftrightarrow 4\left( {m - 1} \right)\log _2^2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {m - 5} \right)\log _2^{}\left( {x - 2} \right) + 4m - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\log _2^2\left( {x - 2} \right) + \left( {m - 5} \right)\log _2^{}\left( {x - 2} \right) + m - 1 = 0\)

Đặt \(\log _2^{}\left( {x - 2} \right) = t\). Do \(x \in \left[ {\dfrac{5}{2};4} \right]\) nên \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Phương trình trở thành \(\left( {m - 1} \right){t^2} + \left( {m - 5} \right)t + m - 1 = 0\,\,\,\left( * \right),\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow m\left( {{t^2} + t + 1} \right) = {t^2} + 5t + 1\)\( \Leftrightarrow m = \dfrac{{{t^2} + 5t + 1}}{{{t^2} + t + 1}}\,\,\left( {do\,\,{t^2} + t + 1 \ne 0,\,\forall t} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 5t + 1}}{{{t^2} + t + 1}},t \in \left[ { - 1;1} \right]\):

\(f'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {2t + 5} \right)\left( {{t^2} + t + 1} \right) - \left( {2t + 1} \right)\left( {{t^2} + 5t + 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}}\)\( = \dfrac{{ - 4{t^2} + 4}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}} \ge 0,\,\,\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\)\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( { - 1} \right) = - 3,\,\,\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = \dfrac{7}{3}\)

Phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow - 3 \le m \le \dfrac{7}{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.